Seja
espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
.
Determine:
O ângulo entre
e
.
Determine:
O ângulo entre
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial chamado
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Nesse espaço, usamos o produto interno canônico para medir ângulos e comprimentos (normas) entre os polinômios.
Os polinômios dados são:
Queremos determinar o ângulo entre
e
. Para isso, vamos precisar calcular o produto interno entre eles e as normas de cada polinômio.
Passo 2
Primeiro, representamos os polinômios como vetores em
. Cada polinômio pode ser escrito na forma
, onde
,
e
são os coeficientes. Assim:
-
corresponde ao vetor -
corresponde ao vetor
Passo 3
Agora, calculamos o produto interno entre
e
. O produto interno canônico em
é dado pela soma dos produtos dos coeficientes correspondentes:
Passo 4
Em seguida, calculamos as normas de cada vetor. A norma de um vetor é a raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo.
Para
:
Para
:
Passo 5
Finalmente, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Para encontrar o ângulo
, aplicamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre
e
é
.