Seja P2(R) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
p(x)=3-x+x^2, q(x)=2+5 x^2.
Determine:
O ângulo entre p e q.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial chamado P2(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Nesse espaço, usamos o produto interno canônico para medir ângulos e comprimentos (normas) entre os polinômios.
Os polinômios dados são:
  • p(x) = 3 - x + x^2
  • q(x) = 2 + 5x^2
Queremos determinar o ângulo entre p e q. Para isso, vamos precisar calcular o produto interno entre eles e as normas de cada polinômio.

Passo 2

Primeiro, representamos os polinômios como vetores em P2(R). Cada polinômio pode ser escrito na forma a + bx + cx^2, onde a, b e c são os coeficientes. Assim:
  • p(x) = 3 - x + x^2 corresponde ao vetor p = (3, -1, 1)
  • q(x) = 2 + 0x + 5x^2 corresponde ao vetor q = (2, 0, 5)

Passo 3

Agora, calculamos o produto interno entre p e q. O produto interno canônico em P2(R) é dado pela soma dos produtos dos coeficientes correspondentes:
lang<= p, q rang<= = (3)(2) + (-1)(0) + (1)(5) = 6 + 0 + 5 = 11

Passo 4

Em seguida, calculamos as normas de cada vetor. A norma de um vetor é a raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo.
Para p:
|p| = raizlang<= p, p rang<= = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11
Para q:
|q| = raizlang<= q, q rang<= = raiz2^2 + 0^2 + 5^2 = raiz4 + 0 + 25 = raiz29

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = lang<= p, q rang<=|p| |q|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 11raiz11 times raiz29 = 11raiz319
Para encontrar o ângulo theta, aplicamos a função arco cosseno:
theta = arccos( 11raiz319 )

Resposta

O ângulo entre p e q é theta = arccos( dfrac11raiz319 ).

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