Seja
um
-espaço vetorial com produto interno,
um operador linear e
seu adjunto. Prove que o operador
é autoadjunto.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
sobre
equipado com produto interno
. Temos um operador linear
e o seu adjunto
, definido por
Queremos mostrar que o operador
é autoadjunto, ou seja, que
.
Passo 2
Lembremos duas propriedades fundamentais do adjunto de operadores lineares em espaços com produto interno:
- Para quaisquer operadores lineares
vale
- O adjunto do adjunto retorna o operador original:
Passo 3
Aplicando a primeira propriedade ao nosso caso, com
e
, obtemos
Em seguida, pela segunda propriedade,
. Logo,
Resposta
O operador
coincide com o seu adjunto, ou seja, é autoadjunto.