Seja V um E-espaço vetorial com produto interno, T: V longrightarrow V um operador linear e T^prime: I^prime longrightarrow I^prime seu adjunto. Prove que o operador T circ T^bul<=t: V^circ longrightarrow V^prime é autoadjunto.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V sobre E equipado com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. Temos um operador linear T:Vto V e o seu adjunto T^*:Vto V, definido por
lang<= T x,,yrang<= = lang<= x,,T^* yrang<= para todos x,yin V
Queremos mostrar que o operador
A ;=; Tcirc T^*
é autoadjunto, ou seja, que A^*=A.

Passo 2

Lembremos duas propriedades fundamentais do adjunto de operadores lineares em espaços com produto interno:
  1. Para quaisquer operadores lineares R,S:Vto V vale
(Rcirc S)^* ;=; S^*circ R^*
  1. O adjunto do adjunto retorna o operador original:
(S^*)^* ;=; S

Passo 3

Aplicando a primeira propriedade ao nosso caso, com R=T e S=T^*, obtemos
l(Tcirc T^*r)^* ;=; (T^*)^* ,circ, T^*
Em seguida, pela segunda propriedade, (T^*)^*=T. Logo,
l(Tcirc T^*r)^* ;=; Tcirc T^*

Resposta

O operador Tcirc T^* coincide com o seu adjunto, ou seja, é autoadjunto.

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