Verifique se o seguinte conjunto é um subespaço do
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
-
(verificar que o vetor nulo está em ), -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo
pertence a
.
Note que e
. Logo
Note que
e
não é vazio.
Passo 3
Teste de fechamento por soma: sejam
e
em
.
Então e
. A soma
satisfaz
Então
satisfaz
que é soma de dois números racionais, portanto racional. Assim
.
Passo 4
Teste de fechamento por escalares: seja
com
e escolha um escalar
(irracional).
Então
tem
Então
tem
que é produto de número irracional por número racional não nulo, logo irracional. Portanto
.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
, pois falha o fechamento sob multiplicação por escalares.