Verifique se o seguinte conjunto é um subespaço do R^3
(x1, x2, x3) in R^3 ; x1+x2 in Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=(x1,x2,x3)inR^3mid x1+x2inQ
é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. Sneqvarnothing (verificar que o vetor nulo está em S),
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a S.
Note que 0+0=0 e 0inQ. Logo
(0,0,0)in S
e S não é vazio.

Passo 3

Teste de fechamento por soma: sejam
u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) em S.
Então u1+u2inQ e v1+v2inQ. A soma
u+v=(u1+v1,;u2+v2,;u3+v3)
satisfaz
(u1+v1)+(u2+v2) = (u1+u2)+(v1+v2),
que é soma de dois números racionais, portanto racional. Assim u+vin S.

Passo 4

Teste de fechamento por escalares: seja w=(w1,w2,w3)in S com
w1+w2 = rinQ, rneq 0,
e escolha um escalar alphainRsetminusQ (irracional).
Então
alphaw=(alpha w1,alpha w2,alpha w3)
tem
(alpha w1)+(alpha w2) =alpha,(w1+w2) =alpha,r,
que é produto de número irracional por número racional não nulo, logo irracional. Portanto alphawnotin S.

Resposta

O conjunto S não é subespaço de R^3, pois falha o fechamento sob multiplicação por escalares.

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