Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V. W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, a+b=0\right. e \left.c=-d\right\}
Passo 1
O problema está em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) e define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid a + b = 0 \text{ e } c = -d\right\}.
Queremos saber se W é subespaço de V. Para isso, precisamos usar a definição: um subconjunto é subespaço se e somente se contiver o vetor zero, for fechado sob soma de vetores e for fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz 0 + 0 = 0 e 0 = -0. Logo, 0\in W, então W não é vazio e contém o neutro.