Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, a+b=0\right. e \left.c=-d\right\}

Passo 1

O problema está em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) e define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid a + b = 0 \text{ e } c = -d\right\}.
Queremos saber se W é subespaço de V. Para isso, precisamos usar a definição: um subconjunto é subespaço se e somente se contiver o vetor zero, for fechado sob soma de vetores e for fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz 0 + 0 = 0 e 0 = -0. Logo, 0\in W, então W não é vazio e contém o neutro.

Passo 3

Sejam
M_1 = \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & d_1\end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}
em W. Então a_1 + b_1 = 0, c_1 = -d_1 e a_2 + b_2 = 0, c_2 = -d_2. A soma é
M_1 + M_2 = \begin{pmatrix}a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2\end{pmatrix}.
Note que
(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) = 0 + 0 = 0,
e
(c_1 + c_2) = (-d_1) + (-d_2) = -(d_1 + d_2).
Portanto M_1 + M_2\in W e W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e M = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W. Então a+b=0 e c=-d. Multiplicando por escalar,
\lambda M = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Verificamos
(\lambda a) + (\lambda b) = \lambda\,(a + b) = \lambda\cdot 0 = 0
e
\lambda c = \lambda(-d) = -(\lambda d).
Logo \lambda M\in W e W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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