Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\left\{A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}, onde B é uma matriz fixa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid AB = BA\},
com B fixada, é subespaço de V = M_{n\times n}(\mathbb{R}).
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
  1. 0\in W.
  2. Se A,C\in W, então A+C\in W.
  3. Se A\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha A\in W.

Passo 2

Verificar que a matriz nula pertence a W.
A matriz zero 0 satisfaz
0\cdot B = 0 = B\cdot 0,
logo 0B = B0 e portanto 0\in W.

Passo 3

Verificar fechamento em relação à soma.
Sejam A,C\in W. Então
AB = BA \quad\text{e}\quad CB = BC.
Somando as duas igualdades:
( A + C )B = AB + CB = BA + BC = (A + C)B.
Logo A + C também comuta com B, ou seja A+C\in W.

Passo 4

Verificar fechamento em relação ao produto por escalar.
Seja A\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Como AB=BA, temos
(\alpha A)B = \alpha\,(AB) = \alpha\,(BA) = B\,(\alpha A).
Portanto \alpha A comuta com B e \alpha A\in W.

Resposta

O conjunto
W = \{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid AB=BA\}
é um subespaço de M_{n\times n}(\mathbb{R}).

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