Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\left\{X \in M_{n \times 1}(\mathbb{R}) \mid A X=0_{n \times 1}\right\}, onde A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W=\{X\in M_{n\times1}(\mathbb{R})\mid A\,X=0_{n\times1}\}
é um subespaço de V=M_{n\times1}(\mathbb{R}). O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: precisamos checar que W não está vazio, que é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de V pertence a W. De fato, tomando X=0_{n\times1},
A\,0_{n\times1}=0_{n\times1},
logo 0_{n\times1}\in W e W\neq\emptyset.

Passo 3

Mostramos a fechamento sob soma. Sejam X e Y em W. Então
A\,X=0_{n\times1} \quad\text{e}\quad A\,Y=0_{n\times1}.
Pela linearidade da multiplicação matricial,
A\,(X+Y)=A\,X + A\,Y = 0_{n\times1}+0_{n\times1}=0_{n\times1},
portanto X+Y\in W.

Passo 4

Mostramos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e X\in W, então A\,X=0_{n\times1}. Pela propriedade de distributividade em escalares,
A\,(\lambda X)=\lambda\,(A\,X)=\lambda\,0_{n\times1}=0_{n\times1},
logo \lambda X\in W.

Resposta

W é subespaço de V.

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