Sejam
um espaço vetorial complexo com produto interno
e
. Mostre que se
e
são vetores unitários tais que
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial complexo
com produto interno
e vetores
tais que
,
e
.
Queremos mostrar que isso implica .
Conteúdo que vamos usar: desigualdade de Cauchy–Schwarz e seu caso de igualdade.
Queremos mostrar que isso implica
Conteúdo que vamos usar: desigualdade de Cauchy–Schwarz e seu caso de igualdade.
Passo 2
A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer
,
com igualdade se e somente se
e
são linearmente dependentes (isto é,
para algum
).
Passo 3
Aqui temos
,
e
Logo a desigualdade de Cauchy–Schwarz atinge igualdade, e disso segue que existem
tal que
Passo 4
Para encontrar
, fazemos produto interno de ambos os lados com
:
Mas sabemos que
. Portanto