Sejam V um espaço vetorial complexo com produto interno lang<=,rang<= e u, v in V. Mostre que se u e v são vetores unitários tais que lang<= u, vrang<== pm 1, então u= pm v.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial complexo V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e vetores u,vin V tais que
|u|=1, |v|=1 e lang<= u,vrang<==pm1.
Queremos mostrar que isso implica u=pm v.
Conteúdo que vamos usar: desigualdade de Cauchy–Schwarz e seu caso de igualdade.

Passo 2

A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer x,yin V,
|lang<= x,yrang<=|<= |x|;|y|
com igualdade se e somente se x e y são linearmente dependentes (isto é, x=lambda y para algum lambdainC).

Passo 3

Aqui temos |u|=1, |v|=1 e
|lang<= u,vrang<=|=|pm1|=1=|u|;|v|
Logo a desigualdade de Cauchy–Schwarz atinge igualdade, e disso segue que existem lambdainC tal que
u=lambda,v

Passo 4

Para encontrar lambda, fazemos produto interno de ambos os lados com v:
lang<= u,vrang<= =lang<= lambda v,vrang<= =lambda,lang<= v,vrang<= =lambda,|v|^2 =lambdacdot1 =lambda
Mas sabemos que lang<= u,vrang<==pm1. Portanto
lambda=pm1 Longrightarrow u=pm v

Resposta

u=pm v

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