Verificar se os polinômios:
P0(x)=1, P1(x)=x e P2(x)=x^2-13 >=ram K2(x)
NOTE:
Deveremos mostrar que [P0(x), P1(x), P2(x)] subset K2(x) e que K2(x) subset[P0(x), P1(x), P2(x)]
a) É fácil ver que: [P0(x), P1(x), P2(x)] subset k2(x), pois todos são polinômios de grau menor ou igual a 2.
b) Para mostrar que K2(x) subset[P0(x), P1(x), P2(x)], devemos mostrar que qualquer polinônio Q(x) in K2(x) se escreve como combinação linear de P0(x), P1(x) e P2(x). De fato, seja Q2(x)=a0+a1 x+a2 x^2 um elemento genérico de K2(x). Então:
a0+a1 x+a2 x^2=alpha0 P0(x)+alpha1 P1(x)+alpha2 P2(x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
P0(x),P1(x),P2(x) gera K2(x), o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e geração de subespaços.

Passo 2

Demonstrar l[P0(x),P1(x),P2(x)r]subset K2(x): qualquer combinação linear
alpha0P0(x)+alpha1P1(x)+alpha2P2(x)
é um polinômio de grau no máximo 2, logo pertence a K2(x).

Passo 3

Demonstrar K2(x)subsetl[P0(x),P1(x),P2(x)r]: seja
Q(x)=a0+a1x+a2x^2in K2(x)
Procuramos alpha0,alpha1,alpha2 tais que
alpha0cdot1+alpha1cdot x+alpha2l(x^2-tfrac13r) =Q(x)

Passo 4

Agrupando termos, a combinação fica
alpha0-tfracalpha23 ;+;alpha1x;+;alpha2x^2 ;=;a0+a1x+a2x^2
Comparando coeficientes, obtemos
alpha2=a2, alpha1=a1, alpha0-tfracalpha23=a0 ;Longrightarrow; alpha0=a0+tfraca23
Logo, todo Q(x) é combinação linear de P0,P1,P2.

Resposta

Sim, P0(x)=1, P1(x)=x e P2(x)=x^2-tfrac13 geram K2(x).

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