Seja
um espaço vetorial sobre
e
. Prove as afirmações abaixo:
Se
, então
ou
;
Se
Passo 1
O enunciado diz: seja
um espaço vetorial sobre o corpo
, e seja
e
. Queremos provar que
O que vamos usar dos axiomas de espaço vetorial: a existência do elemento neutro
, a associatividade da multiplicação escalar, a existência do elemento neutro
em
, e o fato de que todo elemento
tem inverso multiplicativo
.
Passo 2
Primeiro caso: suponha
. Então, por definição de espaço vetorial,
Ou seja, se
a igualdade
já ocorre, e a conclusão “
ou
” fica satisfeita.
Passo 3
Segundo caso: suponha
.
Então tem inverso multiplicativo
. Multiplicando a equação
por
e usando a associatividade da multiplicação escalar, obtemos
Então
Por outro lado, como
, segue que
pois todo escalar aplicado ao vetor zero dá o vetor zero. Logo, neste caso temos
.
Resposta
Fica assim demonstrado que, em qualquer situação, se
então necessariamente
ou
.