Seja V um espaço vetorial sobre K e lambda in K. Prove as afirmações abaixo:
Se lambda u=0, então lambda=0 ou u=0;

Passo 1

O enunciado diz: seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, e seja lambdain K e uin V. Queremos provar que
lambdacdot u = 0V Longrightarrow lambda = 0K ;;ou;; u = 0V
O que vamos usar dos axiomas de espaço vetorial: a existência do elemento neutro 0V, a associatividade da multiplicação escalar, a existência do elemento neutro 1K em K, e o fato de que todo elemento lambdaneq0K tem inverso multiplicativo lambda^-1.

Passo 2

Primeiro caso: suponha lambda = 0K. Então, por definição de espaço vetorial,
0K cdot u = 0V
Ou seja, se lambda=0K a igualdade lambdacdot u=0V já ocorre, e a conclusão “ lambda=0K ou u=0V” fica satisfeita.

Passo 3

Segundo caso: suponha lambda neq 0K.
Então lambda tem inverso multiplicativo lambda^-1in K. Multiplicando a equação lambdacdot u=0V por lambda^-1 e usando a associatividade da multiplicação escalar, obtemos
lambda^-1!cdot(lambdacdot u) = (lambda^-1lambda)cdot u = 1Kcdot u = u
Por outro lado, como lambdacdot u=0V, segue que
u = lambda^-1!cdot(lambdacdot u) = lambda^-1!cdot 0V = 0V,
pois todo escalar aplicado ao vetor zero dá o vetor zero. Logo, neste caso temos u=0V.

Resposta

Fica assim demonstrado que, em qualquer situação, se lambdacdot u=0V então necessariamente lambda=0K ou u=0V.

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