13^circ ) Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base:
C=(2,1),(-1,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
C = (2,1),,(-1,3)
forma uma base de R^2.
Lembrando que uma base de R^2 é um conjunto de dois vetores que são (i) linearmente independentes e (ii) geram todo R^2.

Passo 2

Vamos testar a independência linear de (2,1) e (-1,3). Considere a combinação
a,(2,1) + b,(-1,3) = (0,0)
Isso gera o sistema
2a - b = 0, a + 3b = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da primeira equação vem b = 2a. Substituindo na segunda:
a + 3(2a) = 0 ;Longrightarrow; 7a = 0 ;Longrightarrow; a = 0 ;Longrightarrow; b = 0
Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Em R^2, todo conjunto de dois vetores linearmente independentes gera o espaço todo. Logo, além de serem independentes, (2,1) e (-1,3) geram R^2.

Resposta

O conjunto C forma uma base de R^2.

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