13^circ ) Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base:
J=(1,2,3),(0,1,3),(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
J = (1,2,3),,(0,1,3),,(0,0,1)
forma uma base de R^3.
Para isso precisamos checar se esses três vetores são linearmente independentes e, como são três vetores em R^3, isso garante também que geram todo o espaço. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante.

Passo 2

Montamos a matriz A tomando cada vetor de J como coluna:
A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 3 & 1

Passo 3

Observe que A é uma matriz triangular inferior, pois todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Numa matriz triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal é composta de 1, 1 e 1. Logo,
det A = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 neq 0

Passo 4

Como det A neq 0, concluímos que as colunas de A (ou seja, os vetores de J) são linearmente independentes. Tendo três vetores linearmente independentes em R^3, eles formam uma base.

Resposta

O conjunto J forma uma base de R^3.

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