) Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
forma uma base de .
Para isso precisamos checar se esses três vetores são linearmente independentes e, como são três vetores em , isso garante também que geram todo o espaço. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante.
Passo 2
Montamos a matriz tomando cada vetor de como coluna:
Passo 3
Observe que A é uma matriz triangular inferior, pois todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Numa matriz triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal é composta de 1, 1 e 1. Logo,
det A = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 neq 0
Passo 4
Como det A neq 0, concluímos que as colunas de A (ou seja, os vetores de J) são linearmente independentes. Tendo três vetores linearmente independentes em R^3, eles formam uma base.