Seja
um espaço vetorial sobre
e
. Prove as afirmações abaixo:
Se
, então existe único
tal que
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
sobre um corpo
, dado quaisquer vetores
, existe exatamente um vetor
tal que
O conteúdo usado aqui é a estrutura de grupo abeliano de
, em particular a existência de inverso aditivo e as leis de associatividade e elemento neutro.
Passo 2
Para provar a existência, note que em todo espaço vetorial
o elemento
possui um inverso aditivo, denotado por
, tal que
Definimos então
Verificamos que esse
funciona:
Logo, existe ao menos um
satisfazendo
.
Passo 3
Para provar a unicidade, suponha que haja outro
com
Aplicando
à esquerda de ambos os lados, temos
Pela associatividade e pela definição de inverso,
(porque foi assim que definimos
). Portanto
. Isso mostra que não pode haver dois vetores distintos que satisfaçam
.
Resposta
O único vetor
tal que
é
e ele é único.