Seja V um espaço vetorial sobre K e lambda in K. Prove as afirmações abaixo:
Se u, v in V, então existe único w in V tal que u+w=v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V sobre um corpo K, dado quaisquer vetores u,vin V, existe exatamente um vetor win V tal que
u + w = v
O conteúdo usado aqui é a estrutura de grupo abeliano de (V,+), em particular a existência de inverso aditivo e as leis de associatividade e elemento neutro.

Passo 2

Para provar a existência, note que em todo espaço vetorial V o elemento u possui um inverso aditivo, denotado por -u, tal que
u + (-u) = 0
Definimos então
w = (-u) + v
Verificamos que esse w funciona:
u + w = u + l((-u) + vr) ;oversetassociatividade=; l(u + (-u)r) + v = 0 + v = v
Logo, existe ao menos um w satisfazendo u+w=v.

Passo 3

Para provar a unicidade, suponha que haja outro w'in V com
u + w' = v
Aplicando -u à esquerda de ambos os lados, temos
(-u) + l(u + w'r) = (-u) + v
Pela associatividade e pela definição de inverso,
l((-u) + ur) + w' = 0 + w' = w' e (-u) + v = w
(porque foi assim que definimos w). Portanto w'=w. Isso mostra que não pode haver dois vetores distintos que satisfaçam u+w=v.

Resposta

O único vetor win V tal que u+w=v é
w = (-u) + v,
e ele é único.

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