Seja V um espaço vetorial com subespaços U e W.
Se V=R^2, U é o eixo x e W é o eixo y, o que representa o conjunto U+W?

Passo 1

O enunciado está em um contexto de espaços vetoriais: temos V=R^2 e dois subespaços
U = (x,0)mid xinR (eixo x) e
W = (0,y)mid yinR (eixo y).
Ele pede a descrição do conjunto
U+W = ,u + w mid uin U,;win W

Passo 2

Pela definição de soma de subespaços, qualquer vetor de U+W tem a forma
u+w = (x,0)+(0,y) = (x,y),
com x,yinR. Logo todo elemento de U+W é um vetor genérico (x,y) de R^2, provando
U+W subseteq R^2

Passo 3

Reciprocamente, dado um vetor arbitrário (a,b)inR^2, podemos escrevê-lo como
(a,b) = (a,0)+(0,b),
onde (a,0)in U e (0,b)in W. Isso mostra
R^2 subseteq U+W

Resposta

Portanto
U + W = R^2

Exercícios relacionados