Seja A=[cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0].
Mostre que v=(1,0,4,0) é um autovetor de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão nos dá uma matriz A e um vetor v = (1, 0, 4, 0). Nosso objetivo é mostrar que v é um autovetor de A. Para isso, precisamos entender o que é um autovetor: basicamente, quando multiplicamos a matriz A pelo vetor v, o resultado deve ser um múltiplo de v, ou seja, Av = lambdav, onde lambda é um número escalar chamado de autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pelo vetor v. A matriz A é:
A = 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0
E o vetor v é:
v = 1 0 4 0
Então, vamos fazer a multiplicação Av passo a passo.

Passo 3

Multiplicando a primeira linha de A pelo vetor v:
(2 times 1) + (0 times 0) + (1 times 4) + (0 times 0) = 2 + 0 + 4 + 0 = 6
Então, o primeiro elemento do resultado é 6.

Passo 4

Multiplicando a segunda linha de A pelo vetor v:
(0 times 1) + (2 times 0) + (0 times 4) + (1 times 0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
O segundo elemento do resultado é 0.

Passo 5

Multiplicando a terceira linha de A pelo vetor v:
(12 times 1) + (0 times 0) + (3 times 4) + (0 times 0) = 12 + 0 + 12 + 0 = 24
O terceiro elemento do resultado é 24.

Passo 6

Multiplicando a quarta linha de A pelo vetor v:
(0 times 1) + (-1 times 0) + (0 times 4) + (0 times 0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
O quarto elemento do resultado é 0.

Passo 7

Agora, juntando todos os resultados, temos:
Av = 6 0 24 0

Passo 8

Para verificar se v é um autovetor de A, precisamos ver se Av é igual a lambdav para algum escalar lambda. Vamos comparar Av com lambdav:
lambdav = lambda 1 0 4 0 = lambda 0 4lambda 0
Para que Av = lambdav, os componentes correspondentes devem ser iguais:
  1. 6 = lambda
  2. 0 = 0 (já está ok)
  3. 24 = 4lambda
  4. 0 = 0 (já está ok)

Passo 9

Resolvendo a equação 6 = lambda e 24 = 4lambda:
  • Da primeira equação: lambda = 6
  • Da terceira equação: 24 = 4lambda Rightarrow lambda = 6
Como ambas as equações dão o mesmo valor para lambda, está tudo certo!

Resposta

Sim, v = (1, 0, 4, 0) é um autovetor de A com autovalor lambda = 6.

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