Seja
um espaço vetorial com subespaços
e
.
De um exemplo com
para mostrar que
não é necessariamente um subespaço vetorial de
.
De um exemplo com
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos um caso em que, embora
e
sejam subespaços de
, a união
não seja subespaço de
. Vamos trabalhar em
e usar o critério de subespaço: fechamento sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Definimos dois subespaços em
:
e
Cada um é uma reta que passa pela origem, logo satisfaz fechamento sob soma e escalar.
Passo 3
Examinamos a união
Tomemos
Então
Porém
não pertence nem a
nem a
, logo
. Isso mostra que
não é fechado sob soma, portanto não é subespaço de
.
Resposta
Um exemplo é
em
. A união
não é fechada sob soma (por ex.,
), logo não é subespaço vetorial.