Seja V um espaço vetorial com subespaços U e W.
De um exemplo com V=R^2 para mostrar que U cup W não é necessariamente um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos um caso em que, embora U e W sejam subespaços de V, a união Ucup W não seja subespaço de V. Vamos trabalhar em V=R^2 e usar o critério de subespaço: fechamento sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos dois subespaços em R^2:
U = (x,0)mid xinR
e
W = (0,y)mid yinR
Cada um é uma reta que passa pela origem, logo satisfaz fechamento sob soma e escalar.

Passo 3

Examinamos a união
Ucup W = (x,0)mid xinR,cup,(0,y)mid yinR
Tomemos
u = (1,0)in U e w = (0,1)in W
Então
u + w = (1,0)+(0,1) = (1,1)
Porém (1,1) não pertence nem a U nem a W, logo (1,1)notin Ucup W. Isso mostra que Ucup W não é fechado sob soma, portanto não é subespaço de R^2.

Resposta

Um exemplo é
U = (x,0)mid xinR, W = (0,y)mid yinR
em R^2. A união Ucup W não é fechada sob soma (por ex., (1,0)+(0,1)=(1,1)notin Ucup W), logo não é subespaço vetorial.

Exercícios relacionados