Seja f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}, com dez raízes quadradas. Calcule f^{\prime}(0). Passo 1O enunciado pede a derivada em zero da função f(x)=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}}_{10\text{ raízes}}í Esse problema cai em regra de cadeia aplicada repetidamente em radicais aninhados. Passo 2Definimos recursivamente, para k\ge1, a_{1}(x)=\sqrt{x+1},\qquad a_{k}(x)=\sqrt{x+a_{k-1}(x)}. Então f(x)=a_{10}(x). Passo 3Pela regra de cadeia, para k\ge2, a_{k}'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x+a_{k-1}(x)}}\bigl(1 + a_{k-1}'(x)\bigr). Passo 4Avaliamo-lo em x=0. Seja u_{k}=a_{k}(0),\quad v_{k}=a_{k}'(0). Temos u_{1}=\sqrt{0+1}=1,\quad u_{k}=\sqrt{0+u_{k-1}}=\sqrt{u_{k-1}}, logo u_{k}=1 para todo k. E v_{1}=\frac{1}{2\sqrt{0+1}}=\tfrac12,\quad v_{k}=\frac{1}{2\,u_{k}}\bigl(1+v_{k-1}\bigr) =\tfrac12\bigl(1+v_{k-1}\bigr). Passo 5A recorrência v_{k}=\tfrac12(1+v_{k-1}) com v_{1}=\tfrac12 tem solução v_{k}=1 - \frac{1}{2^{k}}. Para k=10 dá v_{10}=1-\frac{1}{2^{10}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}. Resposta f'(0)=\frac{1023}{1024}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função polinomial não constante. Mostre que: Se f(x)=\alpha\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \ldots\left(x-\alpha_{n}\right), com \alpha, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R} e \alpha \neq 0, então, para x \neq \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, temos: \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x-\alpha_{j}} Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função polinomial não constante. Mostre que: Se \alpha é uma raiz de f e f(x)=(x-\alpha)^{k} g(x), com g(x) \neq 0 então, para x \in \mathbb{R} tal que f(x) \neq 0, temos: \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{k}{1-\alpha}+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0\). \(g(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{-1 / x}}, \text { se } x \neq 0 & \\\\ 0, \text { se } x=0 & \left(x_{o}=0\right)\end{cases}