Seja f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}, com dez raízes quadradas. Calcule f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada em zero da função
f(x)=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}}_{10\text{ raízes}}í
Esse problema cai em regra de cadeia aplicada repetidamente em radicais aninhados.

Passo 2

Definimos recursivamente, para k\ge1,
a_{1}(x)=\sqrt{x+1},\qquad a_{k}(x)=\sqrt{x+a_{k-1}(x)}.
Então f(x)=a_{10}(x).

Passo 3

Pela regra de cadeia, para k\ge2,
a_{k}'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x+a_{k-1}(x)}}\bigl(1 + a_{k-1}'(x)\bigr).

Passo 4

Avaliamo-lo em x=0. Seja
u_{k}=a_{k}(0),\quad v_{k}=a_{k}'(0).
Temos
u_{1}=\sqrt{0+1}=1,\quad u_{k}=\sqrt{0+u_{k-1}}=\sqrt{u_{k-1}},
logo u_{k}=1 para todo k. E
v_{1}=\frac{1}{2\sqrt{0+1}}=\tfrac12,\quad v_{k}=\frac{1}{2\,u_{k}}\bigl(1+v_{k-1}\bigr) =\tfrac12\bigl(1+v_{k-1}\bigr).

Passo 5

A recorrência v_{k}=\tfrac12(1+v_{k-1}) com v_{1}=\tfrac12 tem solução
v_{k}=1 - \frac{1}{2^{k}}.
Para k=10
v_{10}=1-\frac{1}{2^{10}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}.

Resposta

f'(0)=\frac{1023}{1024}.

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