Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0\). \(g(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{-1 / x}}, \text { se } x \neq 0 & \\\\ 0, \text { se } x=0 & \left(x_{o}=0\right)\end{cases} Passo 1O enunciado define g(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{1+e^{-1/x}},&x\neq0,\\[1ex] 0,&x=0, \end{cases} e pede para verificar se g é derivável em x_{0}=0. Para isso usamos a definição de derivada em 0: g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}, se esse limite existir (e for finito).] Passo 2Para x\neq0 temos \frac{g(x)}{x} =\frac{\frac{x}{1+e^{-1/x}}}{x} =\frac{1}{1+e^{-1/x}}. Portanto o problema fica em estudar \lim_{x\to0}\frac{1}{1+e^{-1/x}} pelas duas direções. Passo 3Analisando x\to0^+, temos 1/x\to+\infty, logo e^{-1/x}\to e^{-\infty}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+e^{-1/x}}\to\frac{1}{1+0}=1. Passo 4Analisando x\to0^-, temos 1/x\to-\infty, logo e^{-1/x}=e^{+\infty}\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+e^{-1/x}}\to\frac{1}{+\infty}=0. Passo 5As duas derivadas laterais são diferentes: \lim_{x\to0^+}\frac{g(x)}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)}{x}=0. Como o limite não existe de forma única, g'(0) não existe. RespostaA função g não é derivável em x_{0}=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosVerifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Seja f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}, com dez raízes quadradas. Calcule f^{\prime}(0). Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+2 x^{2}, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{sen} x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\ \frac{x}{1+e^{x}}, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right.