Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0\). \(g(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{-1 / x}}, \text { se } x \neq 0 & \\\\ 0, \text { se } x=0 & \left(x_{o}=0\right)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
g(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{1+e^{-1/x}},&x\neq0,\\[1ex] 0,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se g é derivável em x_{0}=0.
Para isso usamos a definição de derivada em 0:
g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x},
se esse limite existir (e for finito).]

Passo 2

Para x\neq0 temos
\frac{g(x)}{x} =\frac{\frac{x}{1+e^{-1/x}}}{x} =\frac{1}{1+e^{-1/x}}.
Portanto o problema fica em estudar \lim_{x\to0}\frac{1}{1+e^{-1/x}} pelas duas direções.

Passo 3

Analisando x\to0^+, temos 1/x\to+\infty, logo
e^{-1/x}\to e^{-\infty}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+e^{-1/x}}\to\frac{1}{1+0}=1.

Passo 4

Analisando x\to0^-, temos 1/x\to-\infty, logo
e^{-1/x}=e^{+\infty}\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+e^{-1/x}}\to\frac{1}{+\infty}=0.

Passo 5

As duas derivadas laterais são diferentes:
\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)}{x}=0.
Como o limite não existe de forma única, g'(0) não existe.

Resposta

A função g não é derivável em x_{0}=0.

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