Verifique se as funções abaixo são deriváveis em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é derivável em
. Para isso vamos usar a definição de derivada
e observar se esse limite existe.
Passo 2
Primeiro note que
, logo
Além disso, ao aproximar
, se
então
, e se
então
. Logo
isto é,
é contínua em
.
Passo 3
Para testar derivabilidade em
calculamos o quociente incremental
Como a definição de
depende da racionalidade de
, analisamos dois casos:
Passo 4
Se
, então
e ao fazermos
obtemos
Passo 5
Se
, então
e ao fazermos
obtemos
Passo 6
Como as duas aproximações dão limites diferentes (
ao aproximar por racionais e
ao aproximar por irracionais), o limite
não existe. Portanto
não é derivável em
.
Resposta
A função não é derivável em
.