Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{3}+x, &\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ 0, &\text{se }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para verificar se ela é derivável em x_{0}=0. Para isso vamos usar a definição de derivada
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
e observar se esse limite existe.

Passo 2

Primeiro note que 0\in\mathbb{Q}, logo
f(0)=0^{3}+0=0.
Além disso, ao aproximar x\to0, se x\in\mathbb{Q} então f(x)=x^{3}+x\to0, e se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} então f(x)=0. Logo
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0),
isto é, f é contínua em 0.

Passo 3

Para testar derivabilidade em 0 calculamos o quociente incremental
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}.
Como a definição de f depende da racionalidade de x, analisamos dois casos:

Passo 4

Se x\in\mathbb{Q}, então
\frac{f(x)}{x}=\frac{x^{3}+x}{x}=x^{2}+1,
e ao fazermos x\to0 obtemos
\lim_{\substack{x\to0\x\in\mathbb{Q}}}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to0}(x^{2}+1)=1.

Passo 5

Se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, então
\frac{f(x)}{x}=\frac{0}{x}=0,
e ao fazermos x\to0 obtemos
\lim_{\substack{x\to0\x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}}\frac{f(x)}{x}=0.

Passo 6

Como as duas aproximações dão limites diferentes ( 1 ao aproximar por racionais e 0 ao aproximar por irracionais), o limite
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
não existe. Portanto f não é derivável em x_{0}=0.

Resposta

A função não é derivável em x_{0}=0.

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