Seja f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} contínua. Seja também \varphi:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} a função de iteração associada ao problema de determinar x, tal que f(x)=0. Então, f\text{(c)}=0 se, e somente se, \varphi\text{(c)}=c.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a afirmação a ser comprovada.
  • Temos uma função contínua \,f:[a,b]\to\mathbb{R}\,.
  • Temos uma função \,\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}\, chamada de “função de iteração associada” ao problema de encontrar x tal que \,f(x)=0.
  • A afirmação a ser demonstrada é: \,f\text{(c)}=0 se, e somente se, \varphi\text{(c)}=c.
Dados claros: a palavra “associada” significa que \varphi foi construída para transformar o problema \,f(x)=0 em um problema de ponto fixo \,x=\varphi(x). No Passo 2 começamos a provar essa equivalência de forma detalhada.

Passo 2

Vamos explicar o que é uma “função de iteração associada” e o que significa “ponto fixo” — conceitos essenciais para entender a equivalência.
  • Definição (ponto fixo): um número x é ponto fixo de \varphi se \varphi(x)=x.
    • Exemplo simples: se \varphi(x)=x para todo x, então todo x é ponto fixo. Mais interessante: \varphi(x)=\cos x tem pontos fixos satisfazendo \cos x = x.
  • Definição (função de iteração associada ao problema f(x)=0): normalmente, dizer que \varphi é “associada” a f quer dizer que \varphi foi construída a partir de f de modo que as soluções de f(x)=0 coincidam com os pontos fixos de \varphi. Em símbolos, isso significa que, para todo x no domínio,
    f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(x)=x.
    — essa é exatamente a equivalência que queremos provar; aqui explicito o significado da expressão “associada”.
  • Exemplos de construções usuais de \varphi:
    1. Método das iterações simples: para qualquer \lambda\neq 0 fixe-se \varphi(x)=x-\lambda f(x).Note que, se f\text{(c)}=0 então \varphi\text{(c)}=c. E se \varphi\text{(c)}=c então c-\lambda f\text{(c)}=c, o que implica -\lambda f\text{(c)}=0 e, como \lambda\neq 0, f\text{(c)}=0.
    2. Método de Newton: com f'(x)\neq 0 define-se \varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.Novamente, \varphi\text{(c)}=c é equivalente a f\text{(c)}=0.
Esses exemplos mostram como, na prática, se constrói uma \varphi que transforma a busca por raízes em busca por pontos fixos. Agora vamos fazer a prova formal das duas implicações.

Passo 3

Provar a implicação direta \,f\text{(c)}=0 \implies \varphi\text{(c)}=c.
  • Raciocínio: pela definição de “função de iteração associada” (ver Passo 2), \varphi foi construída de modo que toda raiz de f corresponda a um ponto fixo. Formalmente, tome c tal que f\text{(c)}=0. Como \varphi é associada ao problema f(x)=0, ao reescrever a equação f(x)=0 na forma x=\varphi(x) e avaliar em x=c obtemos \varphi\text{(c)}=c.
  • Intuição prática (usando o exemplo \varphi(x)=x-\lambda f(x)): se f\text{(c)}=0 então \varphi\text{(c)}=c-\lambda f\text{(c)}=c-\lambda\cdot 0 = c.Isso ilustra concretamente por que a implicação é verdadeira.

Passo 4

Provar a implicação recíproca \,\varphi\text{(c)}=c \implies f\text{(c)}=0.
  • Raciocínio direto pela definição associada: se \varphi foi escolhida de forma que resolver x=\varphi(x) é equivalente a resolver f(x)=0, então qualquer c que satisfaça \varphi\text{(c)}=c também satisfaz f\text{(c)}=0. Formalmente, avaliar a equivalência f(x)=0 \Leftrightarrow x=\varphi(x) em x=c f\text{(c)}=0.
  • Intuição prática (usando o exemplo \varphi(x)=x-\lambda f(x) com \lambda\neq 0): se \varphi\text{(c)}=c então
    c-\lambda f\text{(c)}=c \quad\Rightarrow\quad -\lambda f\text{(c)}=0 \quad\Rightarrow\quad f\text{(c)}=0,
    porque \lambda\neq 0. Assim, a implicação se mantém em construções concretas.

Passo 5

Observações pedagógicas para usar isso na prova ou em exercícios:
  • Sempre pergunte: como \varphi foi obtida a partir de f? Se for por rearranjo da equação f(x)=0 para x=\varphi(x), a equivalência é imediata.
  • Se você for apresentado apenas com uma \varphi sem explicação, verifique explicitamente que f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x)=xe \varphi(x)=x \quad\Longrightarrow\quad f(x)=0,substituindo e fazendo as contas (como no exemplo com \varphi(x)=x-\lambda f(x)).
  • Exemplos rápidos para treinar: tome f(x)=x^2-2. Defina \varphi(x)=x-\tfrac{1}{2}(x^2-2). Verifique que \varphi\text{(c)}=c se, e somente se, c^2-2=0.

Resposta

A afirmação é verdadeira: f\text{(c)}=0 se, e somente se, \varphi\text{(c)}=c.

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