Seja
contínua. Seja também
a função de iteração associada ao problema de determinar
, tal que
. Então,
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a afirmação a ser comprovada.
- Temos uma função contínua
. - Temos uma função
chamada de “função de iteração associada” ao problema de encontrar tal que . - A afirmação a ser demonstrada é:
se, e somente se, .
Dados claros: a palavra “associada” significa que
foi construída para transformar o problema
em um problema de ponto fixo
. No Passo 2 começamos a provar essa equivalência de forma detalhada.
Passo 2
Vamos explicar o que é uma “função de iteração associada” e o que significa “ponto fixo” — conceitos essenciais para entender a equivalência.
-
Definição (ponto fixo): um número
é ponto fixo de se . - Exemplo simples: se
para todo , então todo é ponto fixo. Mais interessante: tem pontos fixos satisfazendo .
- Exemplo simples: se
-
Definição (função de iteração associada ao problema
): normalmente, dizer que é “associada” a quer dizer que foi construída a partir de de modo que as soluções de coincidam com os pontos fixos de . Em símbolos, isso significa que, para todo no domínio, — essa é exatamente a equivalência que queremos provar; aqui explicito o significado da expressão “associada”. -
Exemplos de construções usuais de
: - Método das iterações simples: para qualquer
fixe-se Note que, se então . E se então , o que implica e, como , . - Método de Newton: com
define-se Novamente, é equivalente a .
- Método das iterações simples: para qualquer
Esses exemplos mostram como, na prática, se constrói uma
que transforma a busca por raízes em busca por pontos fixos. Agora vamos fazer a prova formal das duas implicações.
Passo 3
Provar a implicação direta
.
- Raciocínio: pela definição de “função de iteração associada” (ver Passo 2),
foi construída de modo que toda raiz de corresponda a um ponto fixo. Formalmente, tome tal que . Como é associada ao problema , ao reescrever a equação na forma e avaliar em obtemos - Intuição prática (usando o exemplo
): se então Isso ilustra concretamente por que a implicação é verdadeira.
Passo 4
Provar a implicação recíproca
.
-
Raciocínio direto pela definição associada: se
foi escolhida de forma que resolver é equivalente a resolver , então qualquer que satisfaça também satisfaz . Formalmente, avaliar a equivalência em dá . -
Intuição prática (usando o exemplo
com ): se então porque. Assim, a implicação se mantém em construções concretas.
Passo 5
Observações pedagógicas para usar isso na prova ou em exercícios:
- Sempre pergunte: como
foi obtida a partir de ? Se for por rearranjo da equação para , a equivalência é imediata. - Se você for apresentado apenas com uma
sem explicação, verifique explicitamente que e substituindo e fazendo as contas (como no exemplo com ). - Exemplos rápidos para treinar: tome
. Defina . Verifique que se, e somente se, .
Resposta
A afirmação é verdadeira:
se, e somente se,
.