2 a) Supondo que x, y, w, z são representados corretamente obtenha o limite superior para o módulo de erro relativo de da expressão (\mathrm{x}+\mathrm{y}) * \mathrm{w}-\mathrm{z}. Considere erro de truncamento.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá\n
  • Pedem: um limite superior para o módulo do erro relativo da expressão (x+y)\ast w - z quando x,y,w,z são representados corretamente e apenas há erro de truncamento nas operações.\n
  • Dados relevantes: x,y,w,z são exatamente representados (sem erro de representação). O único erro vem das operações aritméticas (soma, multiplicação, subtração) por truncamento. Queremos bound para \left|\dfrac{\text{valor computado} - \text{valor exato}}{\text{valor exato}}\right|.\n
  • Notação que usarei: chamarei de E o valor exato e de C o valor computado. Também introduzirei parâmetros \delta_i (pequenos) para modelar o erro de truncamento em cada operação, com |\delta_i|\le \epsilon para algum \epsilon pequeno (unidade de truncamento).

Passo 2

Modelo do erro por truncamento (explicando a ideia)\n
  • Quando truncamos o resultado de uma operação aritmética, é comum usar o modelo linear\n
\text{fl}(\text{op}) = (\text{op})\,(1+\delta),\qquad |\delta|\le\epsilon,\n
onde \text{fl}(\cdot) é o valor armazenado (truncado) e \epsilon é a máxima fração perdida pelo truncamento (análogo ao “unit roundoff” mas para truncamento). Aqui \delta depende da operação. Esse modelo diz: o resultado armazenado difere do exato por um fator multiplicativo próximo de 1.

Passo 3

Aplicando o modelo à soma x+y\n
  • Defina a = x+y (valor exato da soma). Como há truncamento ao computar x+y, o valor armazenado s será\n s = \text{fl}(x+y) = a\,(1+\delta_1),\qquad |\delta_1|\le\epsilon.\n
Explicação: \delta_1 representa a fração perdida/alterada pela truncatura da soma.

Passo 4

Aplicando o modelo à multiplicação por w\n
  • Multiplicamos s por w e truncamos: o valor intermediário t armazenado é\n t = \text{fl}(s\cdot w) = (s\cdot w)\,(1+\delta_2).\n
Substituindo s:\n
t = a\,w\,(1+\delta_1)(1+\delta_2),\qquad |\delta_2|\le\epsilon.\n
Explicação: agora temos dois erros multiplicativos encadeados.

Passo 5

Aplicando o modelo à subtração final t - z\n
  • Por fim, subtraímos z de t e truncamos; o valor final computado C é\n C = \text{fl}(t - z) = (t - z)\,(1+\delta_3),\qquad |\delta_3|\le\epsilon.\n
Substituindo t obtemos a expressão completa do valor computado:
C = \bigl(a\,w\,(1+\delta_1)(1+\delta_2) - z\bigr)(1+\delta_3),
onde lembramos a=x+y.

Passo 6

Definindo o valor exato e escrevendo o erro absoluto\n
  • Valor exato:
E = (x+y)w - z = a w - z.\n
  • Erro absoluto C - E: compute passo a passo
\begin{aligned} C - E &= \bigl(a w(1+\delta_1)(1+\delta_2) - z\bigr)(1+\delta_3) - (a w - z)\\[4pt] &= a w\bigl((1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3) - 1\bigr) - z\delta_3. \end{aligned}\n
Explicação: expandimos e agrupamos termos para isolar os fatores de \delta_i.]

Passo 7

Bound do módulo do erro absoluto usando desigualdade triangular\n
  • Aplicando desigualdade triangular:
|C-E| \le |a w|\,\bigl| (1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3) - 1\bigr| + |z|\,|\delta_3|.

Passo 8

Expansão e bound para (1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3)-1\n
  • Expandindo exatamente:
(1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3)-1 = \delta_1+\delta_2+\delta_3 + \delta_1\delta_2+\delta_1\delta_3+\delta_2\delta_3 + \delta_1\delta_2\delta_3.\n
  • Tomando módulo e usando |\delta_i|\le\epsilon:
\bigl| (1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3)-1\bigr| \le 3\epsilon + 3\epsilon^2 + \epsilon^3.\n
Explicação: cada termo de ordem k é limitado por \epsilon^k, e somamos todos.

Passo 9

Combinação para bound do erro absoluto\n
  • Substituindo o bound do passo anterior em |C-E|:
|C-E| \le |a w|\,(3\epsilon + 3\epsilon^2 + \epsilon^3) + |z|\,\epsilon.\n
  • Lembrete: a=x+y, então também podemos escrever |a w| = |(x+y)w|.

Passo 10

Passando para erro relativo e simplificação de primeira ordem\n
  • Erro relativo pedido é \left|\dfrac{C-E}{E}\right| com E = a w - z. Dividindo pelo módulo de E obtemos o limite superior:
\left|\frac{C-E}{E}\right| \le \frac{|(x+y)w|\,(3\epsilon + 3\epsilon^2 + \epsilon^3) + |z|\,\epsilon}{\bigl|(x+y)w - z\bigr|}.\n
  • Para \epsilon pequeno (desprezando termos de ordem \epsilon^2 e superiores), uma forma aproximada e prática é
\left|\frac{C-E}{E}\right| \lesssim \frac{3\epsilon\,|(x+y)w| + \epsilon\,|z|}{\bigl|(x+y)w - z\bigr|} = \epsilon\;\frac{3|(x+y)w| + |z|}{\bigl|(x+y)w - z\bigr|}.\n
Explicação: a primeira forma é um limite matematicamente correto incluindo termos quadráticos; a forma “≈” é o truncamento ao primeiro ordem em \epsilon, útil quando \epsilon é muito pequeno.

Passo 11

Comentário final e observações práticas\n
  • Atenção: o denominador \bigl|(x+y)w - z\bigr| pode ser muito pequeno (cancelamento), o que torna o bound grande — isto é, o erro relativo pode explodir se o resultado exato for próximo de zero. Portanto o bound é informativo, mas mostra que subtrações podem amplificar erros.\n
  • Resumo do que precisa ser lembrado na prova: modele cada operação com um fator (1+\delta_i), expanda, use desigualdade triangular e limite |\delta_i|\le\epsilon; depois divida pelo valor exato.

Resposta

\left|\frac{C-E}{E}\right| \le \frac{|(x+y)w|\,(3\epsilon + 3\epsilon^2 + \epsilon^3) + |z|\,\epsilon}{\bigl|(x+y)w - z\bigr|}
\text{(aprox.\\ de primeira ordem)}\qquad \left|\frac{C-E}{E}\right| \lesssim \epsilon\;\frac{3|(x+y)w| + |z|}{\bigl|(x+y)w - z\bigr|}

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