2 a) Supondo que x, y, w, z são representados corretamente obtenha o limite superior para o módulo de erro relativo de da expressão (\mathrm{x}+\mathrm{y}) * \mathrm{w}-\mathrm{z}. Considere erro de truncamento.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá\n
Pedem: um limite superior para o módulo do erro relativo da expressão (x+y)\ast w - z quando x,y,w,z são representados corretamente e apenas há erro de truncamento nas operações.\n
Dados relevantes: x,y,w,z são exatamente representados (sem erro de representação). O único erro vem das operações aritméticas (soma, multiplicação, subtração) por truncamento. Queremos bound para \left|\dfrac{\text{valor computado} - \text{valor exato}}{\text{valor exato}}\right|.\n
Notação que usarei: chamarei de E o valor exato e de C o valor computado. Também introduzirei parâmetros \delta_i (pequenos) para modelar o erro de truncamento em cada operação, com |\delta_i|\le \epsilon para algum \epsilon pequeno (unidade de truncamento).
Passo 2
Modelo do erro por truncamento (explicando a ideia)\n
Quando truncamos o resultado de uma operação aritmética, é comum usar o modelo linear\n
onde \text{fl}(\cdot) é o valor armazenado (truncado) e \epsilon é a máxima fração perdida pelo truncamento (análogo ao “unit roundoff” mas para truncamento). Aqui \delta depende da operação. Esse modelo diz: o resultado armazenado difere do exato por um fator multiplicativo próximo de 1.
Passo 3
Aplicando o modelo à soma x+y\n
Defina a = x+y (valor exato da soma). Como há truncamento ao computar x+y, o valor armazenado s será\ns = \text{fl}(x+y) = a\,(1+\delta_1),\qquad |\delta_1|\le\epsilon.\n
Explicação: \delta_1 representa a fração perdida/alterada pela truncatura da soma.
Passo 4
Aplicando o modelo à multiplicação por w\n
Multiplicamos s por w e truncamos: o valor intermediário t armazenado é\nt = \text{fl}(s\cdot w) = (s\cdot w)\,(1+\delta_2).\n
Substituindo s:\n
t = a\,w\,(1+\delta_1)(1+\delta_2),\qquad |\delta_2|\le\epsilon.\n
Explicação: agora temos dois erros multiplicativos encadeados.
Passo 5
Aplicando o modelo à subtração final t - z\n
Por fim, subtraímos z de t e truncamos; o valor final computado C é\nC = \text{fl}(t - z) = (t - z)\,(1+\delta_3),\qquad |\delta_3|\le\epsilon.\n
Substituindo t obtemos a expressão completa do valor computado:
C = \bigl(a\,w\,(1+\delta_1)(1+\delta_2) - z\bigr)(1+\delta_3),
onde lembramos a=x+y.
Passo 6
Definindo o valor exato e escrevendo o erro absoluto\n
Valor exato:
E = (x+y)w - z = a w - z.\n
Erro absoluto C - E: compute passo a passo
\begin{aligned} C - E &= \bigl(a w(1+\delta_1)(1+\delta_2) - z\bigr)(1+\delta_3) - (a w - z)\\[4pt] &= a w\bigl((1+\delta_1)(1+\delta_2)(1+\delta_3) - 1\bigr) - z\delta_3. \end{aligned}\n
Explicação: expandimos e agrupamos termos para isolar os fatores de \delta_i.]
Passo 7
Bound do módulo do erro absoluto usando desigualdade triangular\n
Explicação: a primeira forma é um limite matematicamente correto incluindo termos quadráticos; a forma “≈” é o truncamento ao primeiro ordem em \epsilon, útil quando \epsilon é muito pequeno.
Passo 11
Comentário final e observações práticas\n
Atenção: o denominador \bigl|(x+y)w - z\bigr| pode ser muito pequeno (cancelamento), o que torna o bound grande — isto é, o erro relativo pode explodir se o resultado exato for próximo de zero. Portanto o bound é informativo, mas mostra que subtrações podem amplificar erros.\n
Resumo do que precisa ser lembrado na prova: modele cada operação com um fator (1+\delta_i), expanda, use desigualdade triangular e limite |\delta_i|\le\epsilon; depois divida pelo valor exato.