Utilize mudança de variável para coordenadas polares e resolva \int_{0}^{+\inf } \int_{0}^{+\inf } e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y (R: \pi / 4 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,dx\,dy
usando mudança para coordenadas polares. O conteúdo principal é reconhecer que em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o jacobiano é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Como x\ge0 e y\ge0, o ângulo \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e r de 0 a +\infty.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{\infty} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r: faça u = r^{2}, então du = 2r\,dr e r\,dr = \tfrac12\,du. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr = \int_{u=0}^{\infty} e^{-u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}.

Passo 5

Agora a integral em \theta é imediata:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelos resultados:
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta = \Bigl(\frac12\Bigr)\,\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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