Seja f: A B uma função. Se, para quaisquer x1, x2 in A, tivemos que f(x1)=f(x2) implica x1=x2, diremos que f é uma função injetora. Equivalentemente, f é injetora se, para quaisquer x1, x2 in A, x1 neq x2 implicar que f(x1) neq f(x2). Mostre que as funções são injetoras:
f: R R, com f(x)=x^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon RtoR, f(x)=x^3
é injetora. Lembrando que f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2.

Passo 2

Suponha que, para x1,x2inR, valha
f(x1)=f(x2)
Então
x1^3 = x2^3

Passo 3

Reescrevendo a igualdade acima como diferença de cubos, temos
x1^3 - x2^3 = 0 Longrightarrow (x1 - x2),(x1^2 + x1x2 + x2^2) = 0

Passo 4

Observe que, para quaisquer reais x1,x2,
x1^2 + x1x2 + x2^2 ;>; 0
a menos do caso trivial x1 = x2 = 0. Logo, o produto só pode ser zero se
x1 - x2 = 0,
isto é, x1 = x2.

Resposta

A função f(x)=x^3 é injetora.

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