Seja
uma função. Se, para quaisquer
, tivemos que
implica
, diremos que
é uma função injetora. Equivalentemente,
é injetora se, para quaisquer
implicar que
. Mostre que as funções são injetoras:
, com
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é injetora. Lembrando que
é injetora se, sempre que
, então
.
Passo 2
Suponha que, para
, valha
Então
Passo 3
Reescrevendo a igualdade acima como diferença de cubos, temos
Passo 4
Observe que, para quaisquer reais
,
a menos do caso trivial
. Logo, o produto só pode ser zero se
isto é,
.
Resposta
A função
é injetora.