Seja f: A B uma função. Se, para quaisquer x1, x2 in A, tivemos que f(x1)=f(x2) implica x1=x2, diremos que f é uma função injetora. Equivalentemente, f é injetora se, para quaisquer x1, x2 in A, x1 neq x2 implicar que f(x1) neq f(x2). Mostre que as funções são injetoras:
Para a neq 0, f: R R com f(x)=a x+b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f: ℝ → ℝ definida por f(x)=ax+b, com a≠0, é injetora. O conteúdo aqui é definição de função injetora e vamos precisar usar a definição: f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂.

Passo 2

Começamos assumindo que f(x₁)=f(x₂). Isso significa que temos
a,x1+b = a,x2+b

Passo 3

Subtraindo b de ambos os lados, obtemos
a,x1 = a,x2
E como a ≠ 0, podemos dividir por a, chegando a
x1 = x2

Passo 4

Mostramos que sempre que f(x₁)=f(x₂) então x₁=x₂, que é exatamente a definição de injetora. Portanto f é injetora.

Resposta

A função f(x)=ax+b, com a≠0, é injetora.

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