Seja
uma função. Se, para quaisquer
, tivemos que
implica
, diremos que
é uma função injetora. Equivalentemente,
é injetora se, para quaisquer
implicar que
. Mostre que as funções são injetoras:
Para
com
Para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f: ℝ → ℝ definida por f(x)=ax+b, com a≠0, é injetora. O conteúdo aqui é definição de função injetora e vamos precisar usar a definição: f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂.
Passo 2
Começamos assumindo que f(x₁)=f(x₂). Isso significa que temos
Passo 3
Subtraindo b de ambos os lados, obtemos
E como a ≠ 0, podemos dividir por a, chegando a
Passo 4
Mostramos que sempre que f(x₁)=f(x₂) então x₁=x₂, que é exatamente a definição de injetora. Portanto f é injetora.
Resposta
A função f(x)=ax+b, com a≠0, é injetora.