Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
e
.
Passo 1
O enunciado trata de imagens e contra-imagens de uniões de conjuntos. Temos uma função
, dois subconjuntos
e dois subconjuntos
. As definições são:
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Provar
. Seja
. Então existe
tal que
. Mas
significa
ou
.
- Se
, então . - Se
, então .
Em ambos os casos. Logo
Passo 3
Provar
. Seja
. Então ou
-
, ou -
.
No primeiro caso existecom , e no segundo existe com . Em ambos . Assim
e concluímos que
Passo 4
Provar
. Seja
. Então
, isto é,
ou
.
- Se
, então . - Se
, então .
Logo.
Passo 5
Provar
. Seja
. Então ou
-
, i.e.\ , ou -
, i.e.\ .
Em qualquer caso, logo . Portanto