Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
f(X cup X^prime)=f(X) cup f(X^prime) e f^-1(Y cup Y^prime)=f^-1(Y) cup f^-1(Y^prime).

Passo 1

O enunciado trata de imagens e contra-imagens de uniões de conjuntos. Temos uma função fcolon Ato B, dois subconjuntos X,X'subseteq A e dois subconjuntos Y,Y'subseteq B. As definições são:
f(X)=,yin Bmid exists xin X:,f(x)=y, f^-1(Y)=,xin Amid f(x)in Y
O objetivo é mostrar que
fl(Xcup X'r)=f(X)cup f(X'), f^-1l(Ycup Y'r)=f^-1(Y)cup f^-1(Y')

Passo 2

Provar f(Xcup X')subseteq f(X)cup f(X'). Seja yin f(Xcup X'). Então existe xin Xcup X' tal que f(x)=y. Mas xin Xcup X' significa xin X ou xin X'.
  • Se xin X, então y=f(x)in f(X).
  • Se xin X', então y=f(x)in f(X').
    Em ambos os casos yin f(X)cup f(X'). Logo
f(Xcup X')subseteq f(X)cup f(X')

Passo 3

Provar f(X)cup f(X')subseteq f(Xcup X'). Seja yin f(X)cup f(X'). Então ou
  • yin f(X), ou
  • yin f(X').
    No primeiro caso existe xin Xsubseteq Xcup X' com f(x)=y, e no segundo existe xin X'subseteq Xcup X' com f(x)=y. Em ambos yin f(Xcup X'). Assim
f(X)cup f(X')subseteq f(Xcup X'),
e concluímos que
fl(Xcup X'r)=f(X)cup f(X')

Passo 4

Provar f^-1(Ycup Y')subseteq f^-1(Y)cup f^-1(Y'). Seja xin f^-1(Ycup Y'). Então f(x)in Ycup Y', isto é, f(x)in Y ou f(x)in Y'.
  • Se f(x)in Y, então xin f^-1(Y).
  • Se f(x)in Y', então xin f^-1(Y').
    Logo xin f^-1(Y)cup f^-1(Y').

Passo 5

Provar f^-1(Y) cup f^-1(Y') subseteq f^-1(Y cup Y'). Seja x in f^-1(Y) cup f^-1(Y'). Então ou
  • x in f^-1(Y), i.e.\ f(x) in Y, ou
  • x in f^-1(Y'), i.e.\ f(x) in Y'.
    Em qualquer caso f(x) in Y cup Y', logo x in f^-1(Y cup Y'). Portanto
f^-1l(Y cup Y'r) = f^-1(Y) cup f^-1(Y')

Resposta

fl(Xcup X'r)=f(X)cup f(X'), f^-1l(Ycup Y'r)=f^-1(Y)cup f^-1(Y')

Exercícios relacionados