Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos envolvendo imagem inversa de interseção. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos e definição de pré-imagem de uma função:
Vamos usar a estratégia clássica de provar duas inclusões para mostrar que dois conjuntos são iguais.
Passo 2
Provar
.
Seja .
Isso significa, pela definição de pré-imagem, que
Seja
Isso significa, pela definição de pré-imagem, que
Por definição de interseção, temos
Logo,
e
.
Portanto
Portanto
o que mostra a primeira inclusão.
Passo 3
Provar
.
Seja .
Então e
, ou seja
Seja
Então
Isso implica
.
Novamente pela definição de pré-imagem, concluímos
Novamente pela definição de pré-imagem, concluímos
estabelecendo a segunda inclusão.