Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
f^-1(Y cap Y^prime)=f^-1(Y) cap f^-1(Y^prime).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos envolvendo imagem inversa de interseção. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos e definição de pré-imagem de uma função:
f^-1(Y)=,xin Amid f(x)in Y
Vamos usar a estratégia clássica de provar duas inclusões para mostrar que dois conjuntos são iguais.

Passo 2

Provar f^-1(Ycap Y')subseteq f^-1(Y)cap f^-1(Y').
Seja xin f^-1(Ycap Y').
Isso significa, pela definição de pré-imagem, que
f(x)in Ycap Y'
Por definição de interseção, temos
f(x)in Ye f(x)in Y'
Logo, xin f^-1(Y) e xin f^-1(Y').
Portanto
xin f^-1(Y)cap f^-1(Y'),
o que mostra a primeira inclusão.

Passo 3

Provar f^-1(Y)cap f^-1(Y')subseteq f^-1(Ycap Y').
Seja xin f^-1(Y)cap f^-1(Y').
Então xin f^-1(Y) e xin f^-1(Y'), ou seja
f(x)in Y e f(x)in Y'
Isso implica f(x)in Ycap Y'.
Novamente pela definição de pré-imagem, concluímos
xin f^-1(Ycap Y'),
estabelecendo a segunda inclusão.

Resposta

f^-1l(Ycap Y'r) = f^-1(Y),cap,f^-1(Y')

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