Seja
uma função. Mostre que
para todo
. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se
é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá uma função
e, para cada subconjunto
, a pré-imagem
Queremos mostrar duas coisas:
- Sempre vale
- Há igualdade
para todo
se, e somente se,
for sobrejetora.
Passo 2
Prova da inclusão
.
Seja . Então existe
tal que
. Mas
implica
. Logo
. Concluímos
Seja
Passo 3
Se
é sobrejetora, mostramos a inclusão inversa
.
Dado , a surjetividade garante um
com
. Como
, segue
e então
.
Juntando com o Passo 2, obtemos
Dado
Juntando com o Passo 2, obtemos
Passo 4
Mostramos que se
para todo
então
é sobrejetora.
Basta tomar para um elemento arbitrário
. A igualdade
Basta tomar
implica que
, ou seja, existe
com
. Isso mostra que
atinge cada
, logo é sobrejetora.
Resposta
ocorre se, e somente se,
é sobrejetora.