Seja f: A B uma função. Mostre que
f(f^-1(Y)) subseteq Y para todo Y subseteq B. Além disso, a igualdade é verdadeira se, e somente se f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá uma função f: A to B e, para cada subconjunto Y subseteq B, a pré-imagem
f^-1(Y)=,ain A mid f(a)in Y
Queremos mostrar duas coisas:
  1. Sempre vale
fl(f^-1(Y)r)subseteq Y
  1. Há igualdade
fl(f^-1(Y)r)=Y
para todo Ysubseteq B se, e somente se, f for sobrejetora.

Passo 2

Prova da inclusão fl(f^-1(Y)r)subseteq Y.
Seja yin fl(f^-1(Y)r). Então existe ain f^-1(Y) tal que f(a)=y. Mas ain f^-1(Y) implica f(a)in Y. Logo yin Y. Concluímos
fl(f^-1(Y)r)subseteq Y

Passo 3

Se f é sobrejetora, mostramos a inclusão inversa Ysubseteq f(f^-1(Y)).
Dado yin Ysubseteq B, a surjetividade garante um ain A com f(a)=y. Como yin Y, segue ain f^-1(Y) e então y=f(a)in fl(f^-1(Y)r).
Juntando com o Passo 2, obtemos
fl(f^-1(Y)r)=Y

Passo 4

Mostramos que se f(f^-1(Y))=Y para todo Ysubseteq B então f é sobrejetora.
Basta tomar Y=b para um elemento arbitrário bin B. A igualdade
b=fl(f^-1(b)r)
implica que f^-1(b)neqemptyset, ou seja, existe ain A com f(a)=b. Isso mostra que f atinge cada bin B, logo é sobrejetora.

Resposta

fl(f^-1(Y)r)subseteq Y para todo Ysubseteq B. A igualdade
fl(f^-1(Y)r)=Y
ocorre se, e somente se, f é sobrejetora.

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