Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Mostre que:
A subseteq B se, e somente se, A cup B=B se, e somente se, A cap B=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Teoria dos Conjuntos, que é uma parte da Matemática que estuda coleções de objetos chamados conjuntos. A questão quer que a gente mostre uma relação entre três afirmações sobre conjuntos A , B e C . Especificamente, a gente precisa provar que:
A subseteq B se, e somente se, A cup B = B se, e somente se, A cap B = A
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam os símbolos usados:
  • A subseteq B : Isso significa que todo elemento de A está também em B .
  • A cup B : A união de A e B , que inclui todos os elementos que estão em A , em B , ou em ambos.
  • A cap B : A interseção de A e B , que inclui apenas os elementos que estão tanto em A quanto em B .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A subseteq B . Isso quer dizer que se você pegar qualquer elemento que está em A , esse elemento também vai estar em B . Em outras palavras, A está “dentro” de B .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com a união A cup B quando A subseteq B . Se todo elemento de A já está em B , então juntar A com B não adiciona nada de novo. Portanto, A cup B será igual a B .
Em termos de fórmula:
Se A subseteq B, então A cup B = B ã

Passo 4

Por outro lado, suponha que A cup B = B . Queremos mostrar que isso implica que A subseteq B . Se a união de A e B é igual a B , isso significa que não há elementos em A que não estejam já em B . Portanto, todo elemento de A está em B , ou seja, A subseteq B .

Passo 5

Agora, vamos analisar a interseção A cap B quando A subseteq B . Se todo elemento de A está em B , então a interseção A cap B vai pegar exatamente os elementos de A , já que todos eles também estão em B . Assim, A cap B = A .
Em fórmula:
Se A subseteq B, então A cap B = A ã

Passo 6

Por outro lado, se A cap B = A , queremos mostrar que isso implica A subseteq B . Isso quer dizer que os elementos que estão em ambos A e B são exatamente os elementos de A . Se houver algum elemento em A que não está em B , então a interseção seria menor que A . Logo, todos os elementos de A devem estar em B , ou seja, A subseteq B .

Resposta

Então, mostramos que A subseteq B é equivalente a A cup B = B e também a A cap B = A . Portanto:
A subseteq B se, e somente se, A cup B = B se, e somente se, A cap B = A

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