Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Mostre que:
se, e somente se,
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Teoria dos Conjuntos, que é uma parte da Matemática que estuda coleções de objetos chamados conjuntos. A questão quer que a gente mostre uma relação entre três afirmações sobre conjuntos
,
e
. Especificamente, a gente precisa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam os símbolos usados:
-
: Isso significa que todo elemento de está também em . -
: A união de e , que inclui todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. -
: A interseção de e , que inclui apenas os elementos que estão tanto em quanto em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que se você pegar qualquer elemento que está em
, esse elemento também vai estar em
. Em outras palavras,
está “dentro” de
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com a união
quando
. Se todo elemento de
já está em
, então juntar
com
não adiciona nada de novo. Portanto,
será igual a
.
Em termos de fórmula:
Passo 4
Por outro lado, suponha que
. Queremos mostrar que isso implica que
. Se a união de
e
é igual a
, isso significa que não há elementos em
que não estejam já em
. Portanto, todo elemento de
está em
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a interseção
quando
. Se todo elemento de
está em
, então a interseção
vai pegar exatamente os elementos de
, já que todos eles também estão em
. Assim,
.
Em fórmula:
Passo 6
Por outro lado, se
, queremos mostrar que isso implica
. Isso quer dizer que os elementos que estão em ambos
e
são exatamente os elementos de
. Se houver algum elemento em
que não está em
, então a interseção seria menor que
. Logo, todos os elementos de
devem estar em
, ou seja,
.
Resposta
Então, mostramos que
é equivalente a
e também a
. Portanto: