Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que:
Se f é par, então
integral-a^a f(x) d x=2 integral0^a f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em [-a,a] e é par, ou seja, satisfaz
f(-x)=f(x)para todo xin[-a,a]
Queremos mostrar que
integral-a^af(x),dx=2integral0^af(x),dx
O que vamos usar é a definição de integral definida e a propriedade de substituição em integrais.

Passo 2

Vamos separar a integral de -a a a em duas partes:
integral-a^af(x),dx =integral-a^0f(x),dx+integral0^af(x),dx
Agora analisamos a primeira parcela usando a substituição x=-t. Então dx=-dt e, quando x varia de -a até 0, t varia de a até 0. Assim,
integral-a^0f(x),dx =integralt=a^t=0f(-t),(-dt) =integral0^af(-t),dt
Mas, como f é par, f(-t)=f(t). Portanto
integral-a^0f(x),dx =integral0^af(t),dt =integral0^af(x),dx

Passo 3

Substituindo esse resultado de volta na decomposição inicial, obtemos
integral-a^af(x),dx =underbraceintegral-a^0f(x),dx=integral0^af(x),dx +integral0^af(x),dx =2integral0^af(x),dx

Resposta

boxedintegral-a^af(x),dx=2integral0^af(x),dx

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