Seja
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto correspondente a
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto correspondente a
.
Informações dadas:
- A expressão de
(veio do enunciado). - O ponto de interesse na abscissa é
.
O que precisamos encontrar:
- A reta tangente em
. Para isso precisamos de dois elementos: - O ponto sobre a reta:
. - O coeficiente angular (a inclinação) da reta:
.
- O ponto sobre a reta:
A fórmula que vamos usar, válida sempre que
é diferenciável em
, é a equação da reta tangente:
Passo 2
Calcular o valor da função em
.
Usando a definição de
,
Como
e
, temos
Passo 3
Encontrar a derivada
.
Primeiro use a propriedade dos logaritmos
para reescrever
:
Agora aplicamos regras de diferenciação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (regra da cadeia).
Tomando
tem-se
, então
Portanto
Passo 4
Avaliar
em
para obter a inclinação da tangente.
Substituindo
em
,
Ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular
: é uma reta horizontal.
Passo 5
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 1.
Substituindo
,
e
na fórmula
obtém-se
Interpretação rápida: a reta tangente é horizontal e passa pelo ponto
, logo é a reta de equação
.