Seja
f(x)=\ln \left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a x_{0}=1.
Informações dadas:
  • A expressão de f(x) (veio do enunciado).
  • O ponto de interesse na abscissa é x_{0}=1.
O que precisamos encontrar:
  • A reta tangente em x_{0}=1. Para isso precisamos de dois elementos:
    1. O ponto sobre a reta: \big(x_{0},f(x_{0})\big).
    2. O coeficiente angular (a inclinação) da reta: f'(x_{0}).
A fórmula que vamos usar, válida sempre que f é diferenciável em x_{0}, é a equação da reta tangente:
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\,(x-x_{0}).

Passo 2

Calcular o valor da função em x_{0}=1.
Usando a definição de f,
f(1)=\ln\!\left(\frac{1}{1^{2}+1}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
Como \ln(1)=0 e \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, temos
f(1)=-\ln 2.

Passo 3

Encontrar a derivada f'(x).
Primeiro use a propriedade dos logaritmos \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b para reescrever f:
f(x)=\ln x - \ln\!\big(x^{2}+1\big).
Agora aplicamos regras de diferenciação:
  • A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • A derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
Tomando u(x)=x^{2}+1 tem-se u'(x)=2x, então
\frac{d}{dx}\ln\!\big(x^{2}+1\big)=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Portanto
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Avaliar f'(x) em x_{0}=1 para obter a inclinação da tangente.
Substituindo x=1 em f'(x),
f'(1)=\frac{1}{1}-\frac{2\cdot 1}{1^{2}+1}=1-\frac{2}{2}=1-1=0.
Ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular 0: é uma reta horizontal.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 1.
Substituindo x_{0}=1, f(1)=-\ln 2 e f'(1)=0 na fórmula
y=f(1)+f'(1)\,(x-1),
obtém-se
y=-\ln 2 + 0\cdot(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-\ln 2.
Interpretação rápida: a reta tangente é horizontal e passa pelo ponto (1,-\ln 2), logo é a reta de equação y=-\ln 2.

Resposta

y=-\ln 2

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