Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de
.
;
Passo 1
O enunciado define o espaço
de funções reais e pede para verificar se o conjunto
é linearmente dependente ou independente usando o wronskiano, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.
Passo 2
Para duas funções
analíticas, o wronskiano é definido por
e garante independência linear se não for identicamente zero.
Aqui tomamos
Aqui tomamos
Então suas derivadas são
Passo 3
Substituindo no wronskiano, obtemos
Como
, concluímos que
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Um conjunto de duas funções linearmente independentes gera um subespaço de dimensão 2.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente e a dimensão do subespaço por ele gerado é 2.