Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\{\cos x, \operatorname{sen} x\};

Passo 1

O enunciado define o espaço F de funções reais e pede para verificar se o conjunto \{\cos x,\operatorname{sen}x\} é linearmente dependente ou independente usando o wronskiano, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.

Passo 2

Para duas funções f_{1},f_{2} analíticas, o wronskiano é definido por
W(f_{1},f_{2})(x)=f_{1}(x)\,f_{2}'(x)-f_{2}(x)\,f_{1}'(x),
e garante independência linear se não for identicamente zero.
Aqui tomamos
f_{1}(x)=\cos x,\quad f_{2}(x)=\operatorname{sen}x.
Então suas derivadas são
f_{1}'(x)=-\sin x, \qquad f_{2}'(x)=\cos x.

Passo 3

Substituindo no wronskiano, obtemos
W(\cos x,\operatorname{sen}x)(x) =\cos x\cdot\cos x -\operatorname{sen}x\cdot(-\sin x) =\cos^{2}x+\sin^{2}x =1.
Como W\equiv1\neq0, concluímos que \cos x e \operatorname{sen}x são linearmente independentes.

Passo 4

Um conjunto de duas funções linearmente independentes gera um subespaço de dimensão 2.

Resposta

O conjunto \{\cos x,\operatorname{sen}x\} é linearmente independente e a dimensão do subespaço por ele gerado é 2.

Exercícios relacionados