Verifique que as séries de funções a seguir convergem uniformemente no domínio dado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{2}}, \quad x \in \boldsymbol{R} .

Passo 1

O enunciado nos dá a série de funções
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{2}}
definida para todo x\in\mathbb{R}, e pede para verificar convergência uniforme. O conteúdo principal aqui é o teste de Weierstrass (M‐teste) para séries de funções.

Passo 2

Observamos que para todo k e todo x vale
\biggl|\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{2}}\biggr|\le\frac{1}{k^{2}}.
Logo podemos escolher
M_{k}=\frac{1}{k^{2}},
de modo que \bigl|\operatorname{sen}(kx)/k^{2}\bigr|\le M_{k} para todo x.

Passo 3

A série numérica \sum_{k=1}^{\infty}M_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\tfrac{1}{k^{2}} é uma série p com p=2>1, portanto converge. Pelo teste de Weierstrass, a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{2}}
converge uniformemente em \mathbb{R}.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{2}} converge uniformemente em \mathbb{R}.

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