Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{\cos ^{2} x, \operatorname{sen}^{2} x\right\};

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F de todas as funções reais de variável real, com soma e produto por escalar usuais, e pede para o subconjunto \{\cos^2x,\;\sin^2x\} ser classificado como linearmente dependente ou independente, usando o critério do wronskiano, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.

Passo 2

Para duas funções analíticas f_1 e f_2, o wronskiano é
W(f_1,f_2)(x) =\begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x)\\\ f_1'(x) & f_2'(x) \end{vmatrix}.
Elas são linearmente independentes se e somente se W(f_1,f_2) não for identicamente zero.

Passo 3

Tomando
f_1(x)=\cos^2x, \quad f_2(x)=\sin^2x,
temos as derivadas
f_1'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos^2x\bigr) =-\sin2x, \quad f_2'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sin^2x\bigr) =\sin2x.

Passo 4

O wronskiano é
W(\cos^2x,\sin^2x)(x) =\begin{vmatrix} \cos^2x & \sin^2x\\\\ -\sin2x & \sin2x \end{vmatrix} =\cos^2x\cdot\sin2x - \sin^2x\cdot(-\sin2x) =\bigl(\cos^2x+\sin^2x\bigr)\sin2x =\sin2x.
Como \sin2x não é a função zero para todo x, o wronskiano não é identicamente nulo.

Passo 5

Pelo critério do wronskiano, \cos^2x e \sin^2x são linearmente independentes. Logo, o subespaço que elas geram tem dimensão igual a 2.

Resposta

O conjunto \{\cos^2x,\;\sin^2x\} é linearmente independente e o subespaço gerado por ele tem dimensão 2.

Exercícios relacionados