Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F. \left\{\cos ^{2} x, \operatorname{sen}^{2} x\right\};
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial F de todas as funções reais de variável real, com soma e produto por escalar usuais, e pede para o subconjunto \{\cos^2x,\;\sin^2x\} ser classificado como linearmente dependente ou independente, usando o critério do wronskiano, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.
Passo 2
Para duas funções analíticas f_1 e f_2, o wronskiano é