Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto de funções
no espaço (funções reais de variável real) ser classificado como linearmente dependente ou independente, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.
Conteúdo envolvido: definição de dependência linear (existe combinação linear não trivial que seja a função zero) e, para funções analíticas, o uso de identidades ou do wronskiano.
no espaço
Conteúdo envolvido: definição de dependência linear (existe combinação linear não trivial que seja a função zero) e, para funções analíticas, o uso de identidades ou do wronskiano.
Passo 2
Procuramos uma combinação linear não trivial
Sabemos da identidade hiperbólica que
Reescrevendo,
Isto é, tomando
,
,
, obtemos uma combinação não trivial nula. Logo o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Como há dependência linear, o subespaço gerado não precisa de três geradores independentes. Basta, por exemplo,
, pois
não é múltiplo escalar de
. Portanto a dimensão do span é
Resposta
O conjunto é linearmente dependente e a dimensão do subespaço que gera é
.