Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{1, \operatorname{cosh} ^{2} x, \operatorname{senh}^{2} x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para o conjunto de funções \{1,\;\operatorname{cosh}^2 x,\;\operatorname{sinh}^2 x\}
no espaço F (funções reais de variável real) ser classificado como linearmente dependente ou independente, e em seguida determinar a dimensão do subespaço que ele gera.
Conteúdo envolvido: definição de dependência linear (existe combinação linear não trivial que seja a função zero) e, para funções analíticas, o uso de identidades ou do wronskiano.

Passo 2

Procuramos uma combinação linear não trivial
a\cdot 1 + b\cdot \operatorname{cosh}^2 x + c\cdot \operatorname{sinh}^2 x \;=\;0,\quad\forall x.
Sabemos da identidade hiperbólica que
\operatorname{cosh}^2 x \;-\;\operatorname{sinh}^2 x \;=\;1.
Reescrevendo,
\operatorname{cosh}^2 x \;+\;(-1)\,\operatorname{sinh}^2 x \;+\;(-1)\,\cdot1 \;=\;0.
Isto é, tomando a=-1, b=1, c=-1, obtemos uma combinação não trivial nula. Logo o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Como há dependência linear, o subespaço gerado não precisa de três geradores independentes. Basta, por exemplo, \{1,\operatorname{cosh}^2 x\}, pois \operatorname{cosh}^2 x não é múltiplo escalar de 1. Portanto a dimensão do span é
\dim\bigl(\mathrm{span}\{1,\operatorname{cosh}^2 x,\operatorname{sinh}^2 x\}\bigr) \;=\;2.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente e a dimensão do subespaço que gera é 2.

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