Seja
uma função cuja derivada é dada por
. Esboce a forma geral do gráfico de
identificando interseções com eixos, seus pontos críticos e de inflexão se existirem, estudando o sinal das primeira e segunda derivadas desta função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico geral da função $ f $, sabendo que a sua derivada é $ f’(x) = x^{2}(2 - x) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, pontos críticos e pontos de inflexão. Vamos precisar entender como a primeira e a segunda derivadas se comportam para identificar essas características no gráfico de $ f $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos de $ f $. Pontos críticos são onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Como $ f’(x) = x^{2}(2 - x) $, precisamos resolver:
Isso nos dá:
Portanto, $ x = 0 $ e $ x = 2 $ são pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da primeira derivada $ f’(x) $ para entender onde a função está crescendo ou decrescendo. Sabemos que:
Vamos dividir a reta numérica em intervalos baseados nos pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
-
Para $ x < 0 $:
- $ x^{2} $ é sempre positivo.
- $ 2 - x $ é positivo (pois $ x $ é negativo).
- Então, $ f’(x) > 0 $ → $ f $ está crescente.
-
Para $ 0 < x < 2 $:
- $ x^{2} $ é positivo.
- $ 2 - x $ é positivo.
- Então, $ f’(x) > 0 $ → $ f $ está crescente.
-
Para $ x > 2 $:
- $ x^{2} $ é positivo.
- $ 2 - x $ é negativo.
- Então, $ f’(x) < 0 $ → $ f $ está decrescente.
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $ para identificar possíveis pontos de inflexão. Primeiro, derivamos $ f’(x) $:
Simplificando:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
Então, os candidatos a pontos de inflexão são $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da segunda derivada $ f’’(x) $ para determinar a concavidade da função:
-
Para $ x < 0 $:
- $ x $ é negativo.
- $ 4 - 3x $ é positivo (pois $ x $ é negativo).
- Então, $ f’’(x) < 0 $ → $ f $ é côncava para baixo.
-
Para $ 0 < x < \frac{4}{3} $:
- $ x $ é positivo.
- $ 4 - 3x $ é positivo (até $ x = \frac{4}{3} $).
- Então, $ f’’(x) > 0 $ → $ f $ é côncava para cima.
-
Para $ x > \frac{4}{3} $:
- $ x $ é positivo.
- $ 4 - 3x $ é negativo.
- Então, $ f’’(x) < 0 $ → $ f $ é côncava para baixo.
Isso indica possíveis pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar interseções com os eixos. Para isso, precisamos da função $ f(x) $. Como conhecemos a derivada $ f’(x) = x^{2}(2 - x) $, podemos integrar para encontrar $ f(x) $:
Como não temos informações sobre $ C $, consideraremos $ C = 0 $ para simplificar o esboço:
Interseção com o eixo y ($ x = 0 $):
Então, o gráfico passa pela origem.
Interseções com o eixo x ($ f(x) = 0 $):
Isso nos dá $ x = 0 $ e $ \frac{2}{3} - \frac{1}{4}x = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3} $.
Então, as interseções com o eixo x são $ x = 0 $ e $ x = \frac{8}{3} $.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos montar o esboço do gráfico de $ f(x) $:
- Crescimento: De $ -\infty $ a $ 2 $, a função está crescente.
- Decrescimento: Para $ x > 2 $, está decrescente.
- Concavidade:
- Côncava para baixo antes de $ x = 0 $,
- Côncava para cima entre $ 0 $ e $ \frac{4}{3} $,
- Côncava para baixo após $ \frac{4}{3} $.
- Pontos de inflexão: Em $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.
- Interseções: Passa pela origem e em $ x = \frac{8}{3} $.
Resposta
O gráfico de $ f(x) $ passa pela origem e por $ x = \frac{8}{3} $, cresce de $ -\infty $ a $ 2 $, decresce após $ x = 2 $, tem pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = 2 $, pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $, é côncava para baixo antes de $ x = 0 $, côncava para cima entre $ 0 $ e $ \frac{4}{3} $, e novamente côncava para baixo após $ \frac{4}{3} $.