Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x^2-1 & se & x <= 0 2 x & se & 0= 2
f é contínua em x=1 ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que muda de expressão dependendo do valor de $ x $. A pergunta é: essa função é contínua em $ x = 1 $? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e calcular os limites laterais da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ x = a $ se:
  1. $ f(a) $ está definido.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. Esse limite é igual a $ f(a) $.
Então, precisamos verificar esses três itens para $ x = 1 $.

Passo 3

Vamos ver o valor de $ f(1) $. Olhando para a definição da função:
f(1)
Ou seja, $ f(1) $ está definido e vale 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- f(x) x \to 1^+ $).
Limite pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Para $ 0 < x < 1 $, a função é $ f(x) = 2x $.
Então,
x
Limite pela direita ($ x \to 1^+ $):
Para $ 1 < x < 2 $, a função é $ f(x) = -2x + 4 $.
Então,
x to 1^-

Passo 5

Observamos que:
limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 2
Então, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 existe e é igual a 2.
Comparando com $ f(1) = 1 $, vemos que:
f(x)

Resposta

Não, a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $, porque o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é 2, diferente do valor da função em 1, que é 1.

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