Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede \partial f/\partial x. Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra do quociente, tratando y como constante. No ponto (0,0) usamos a definição do derivada parcial como limite.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) seja
u(x,y)=x^{3}-y^{2}, \quad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Então
\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=2x.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} =\frac{(x^{2}+y^{2})(3x^{2})-(x^{3}-y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Expandindo o numerador,
(x^{2}+y^{2})(3x^{2})=3x^{4}+3x^{2}y^{2}, \quad 2x(x^{3}-y^{2})=2x^{4}-2x\,y^{2},
logo o numerador fica
3x^{4}+3x^{2}y^{2}-\bigl(2x^{4}-2x\,y^{2}\bigr) =x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

No ponto (0,0) calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^{3}-0}{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{3}/h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,& (x,y)=(0,0). \end{cases}]

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