Seja f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases} Determine \frac{\partial f}{\partial x}(x, y). Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases} e pede \partial f/\partial x. Para (x,y)\neq(0,0) usamos a regra do quociente, tratando y como constante. No ponto (0,0) usamos a definição do derivada parcial como limite. Passo 2Para (x,y)\neq(0,0) seja u(x,y)=x^{3}-y^{2}, \quad v(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então \frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=2x. Pela regra do quociente, \frac{\partial f}{\partial x} =\frac{v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} =\frac{(x^{2}+y^{2})(3x^{2})-(x^{3}-y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Passo 3Expandindo o numerador, (x^{2}+y^{2})(3x^{2})=3x^{4}+3x^{2}y^{2}, \quad 2x(x^{3}-y^{2})=2x^{4}-2x\,y^{2}, logo o numerador fica 3x^{4}+3x^{2}y^{2}-\bigl(2x^{4}-2x\,y^{2}\bigr) =x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}. Portanto, para (x,y)\neq(0,0), \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Passo 4No ponto (0,0) calculamos \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^{3}-0}{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{3}/h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1. Resposta \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,& (x,y)=(0,0). \end{cases}] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja a função definida por f(x, y)= \begin{cases}x^{4} y, & x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0, & x^{2}+y^{2}>1\end{cases} Verifique onde f é contínua. Seja f a função definida por f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} Calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) \rightarrow(0,0) ao longo da reta y=m x, m \neq 0. Seja G um grupo. Provar que G / G \cong\left\{1_{G}\right\} Seja G um grupo. Provar que G /\left\{1_{G}\right\} \cong G