Seja f a função definida por f(x, y)=x^y. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 2 de f no ponto (1,1).

Passo 1

Este exercício pede o polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x,y)=x^y no ponto (1,1). Isso envolve expansão de Taylor em duas variáveis e vamos precisar das derivadas parciais de primeira e segunda ordem avaliadas nesse ponto.

Passo 2

Definimos h = x-1 e k = y-1. A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em duas variáveis em torno de (a,b) é:
f(a+h,b+k)approx f(a,b)+fx(a,b),h+fy(a,b),k+tfrac12l(fxx(a,b),h^2+2fxy(a,b),h,k+fyy(a,b),k^2r)
Aqui temos (a,b)=(1,1).

Passo 3

Calculamos o valor da função no ponto:
f(1,1)=1^1=1

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=y,x^y-1, fy(x,y)=x^yln x,
Logo em (1,1):
fx(1,1)=1cdot1^0=1, fy(1,1)=1^1ln1=0

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y)=y(y-1)x^y-2, fxy(x,y)=x^y-1+y,x^y-1ln x, fyy(x,y)=x^y(ln x)^2,
Logo em (1,1):
fxx(1,1)=0, fxy(1,1)=1, fyy(1,1)=0

Passo 6

Montamos então o polinômio de Taylor de ordem 2 substituindo esses valores na fórmula:
T2(x,y)=1+1cdot h+0cdot k+tfrac12l(0cdot h^2+2cdot1cdot h,k+0cdot k^2r)=1+h+h,k
Retornando h=x-1 e k=y-1, obtemos T2(x,y)=1+(x-1)+(x-1)(y-1).

Resposta

T2(x,y)=1+(x-1)+(x-1)(y-1)

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