Seja F uma função matricial n \times n diferenciável no intervalo I. Mostre que se F^{\prime}(x) é uma matriz nula para todo x \in I, então F(x) é uma matriz constante em I.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função matricial diferenciável \;F\colon I\to\mathbb{R}^{n\times n},
onde I\subseteq\mathbb{R} é um intervalo, e diz que \;F'(x) é a matriz nula para todo x\in I.
O conteúdo aqui é extensão do fato escalar “se f'(x)=0 em I, então f é constante em I”, aplicado a cada entrada da matriz.

Passo 2

Como F(x) é uma matriz n\times n, podemos escrevê-la via suas entradas
F(x) = \bigl[f_{ij}(x)\bigr]_{i,j=1}^n,
onde cada f_{ij}\colon I\to\mathbb{R} é diferenciável.

Passo 3

Pela definição de derivada de função matricial,
F'(x)=\bigl[f'_{ij}(x)\bigr]_{i,j=1}^n.
Ou seja, derivar F é derivar cada f_{ij} separadamente.

Passo 4

A hipótese diz que F'(x) é a matriz nula para todo x\in I. Logo,
f'_{ij}(x) = 0 \quad\text{para todo }x\in I\text{ e para todo }i,j.

Passo 5

Pelo resultado clássico de funções escalares, se f'_{ij}(x)=0 em I, então cada f_{ij}(x) é constante em I. Ou seja, existem constantes c_{ij}\in\mathbb{R} tais que
f_{ij}(x) = c_{ij} \quad\text{para todo }x\in I.

Passo 6

Reagrupando as entradas, concluímos que
F(x) = \bigl[f_{ij}(x)\bigr] = \bigl[c_{ij}\bigr] = C,
onde C é uma matriz constante em I.

Resposta

F(x) é constante em I.

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