Seja
uma função matricial
diferenciável no intervalo
. Mostre que se
é uma matriz nula para todo
, então
é uma matriz constante em
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função matricial diferenciável
,
onde é um intervalo, e diz que
é a matriz nula para todo
.
O conteúdo aqui é extensão do fato escalar “se em
, então
é constante em
”, aplicado a cada entrada da matriz.
onde
O conteúdo aqui é extensão do fato escalar “se
Passo 2
Como
é uma matriz
, podemos escrevê-la via suas entradas
onde cada
é diferenciável.
Passo 3
Pela definição de derivada de função matricial,
Ou seja, derivar
é derivar cada
separadamente.
Passo 4
A hipótese diz que
é a matriz nula para todo
. Logo,
Passo 5
Pelo resultado clássico de funções escalares, se
em
, então cada
é constante em
. Ou seja, existem constantes
tais que
Passo 6
Reagrupando as entradas, concluímos que
onde
é uma matriz constante em
.