Seja F uma função matricial n \times n infinitamente diferenciável. Mostre que
\left(F^{3}(x)\right)^{\prime}=F^{2}(x) \cdot F^{\prime}(x)+F(x) \cdot F^{\prime}(x) \cdot F(x)+F^{\prime}(x) \cdot F^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função matricial F\colon \mathbb{R}\to M_{n}(\mathbb{R}) infinitamente diferenciável, vale
\bigl(F^{3}(x)\bigr)' = F^{2}(x)\,F'(x) + F(x)\,F'(x)\,F(x) + F'(x)\,F^{2}(x).
O conteúdo aqui é a regra do produto para funções matriciais.

Passo 2

Lembramos a regra do produto para matrizes: se A(x) e B(x) são diferenciáveis, então
\bigl(A(x)\,B(x)\bigr)' = A'(x)\,B(x) + A(x)\,B'(x).

Passo 3

Aplicando essa regra a F^2(x)=F(x)\,F(x), obtemos
\bigl(F^2(x)\bigr)' = F'(x)\,F(x) + F(x)\,F'(x).

Passo 4

Agora escrevemos F^3(x)=F(x)\,F^2(x) e aplicamos a regra do produto:
\bigl(F^3(x)\bigr)' = F'(x)\,F^2(x) + F(x)\,\bigl(F^2(x)\bigr)'.
Substituindo o resultado do Passo 3:
\bigl(F^3(x)\bigr)' = F'(x)\,F^2(x) + F(x)\,\bigl(F'(x)\,F(x) + F(x)\,F'(x)\bigr)
\bigl(F^3(x)\bigr)' = F'(x)\,F^2(x) + F(x)\,F'(x)\,F(x) + F^2(x)\,F'(x).
Como a adição de matrizes é comutativa, isso é exatamente
F^2(x)\,F'(x) + F(x)\,F'(x)\,F(x) + F'(x)\,F^2(x).

Resposta

\bigl(F^{3}(x)\bigr)' = F^{2}(x)\,F'(x) + F(x)\,F'(x)\,F(x) + F'(x)\,F^{2}(x).

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