Seja F uma função matricial n \times n infinitamente diferenciável. Mostre que
\left(F^{2}(x)\right)^{\prime}=F(x) \cdot F^{\prime}(x)+F^{\prime}(x) \cdot F(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função matricial F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n\times n}, de classe C^\infty, e queremos mostrar que a derivada de F^2(x)=F(x)\,F(x) satisfaz a regra do produto, ou seja,
\bigl(F^2(x)\bigr)' \;=\; F(x)\,F'(x)\;+\;F'(x)\,F(x).
Para isso vamos usar a definição de derivada pelo limite
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}
e a propriedade de continuidade de F.

Passo 2

Considere a diferença quociente de F^2:
\frac{F(x+h)F(x+h)-F(x)F(x)}{h}.
Inserimos e subtraímos F(x+h)F(x) para obter duas parcelas:
\frac{F(x+h)F(x+h)-F(x+h)F(x)+F(x+h)F(x)-F(x)F(x)}{h} = F(x+h)\,\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \;+\;\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\,F(x).

Passo 3

Tomando o limite h\to0, usando que F é contínua (logo F(x+h)\to F(x)) e que \displaystyle\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\to F'(x), obtemos
\bigl(F^2(x)\bigr)' =\;F(x)\,F'(x)\;+\;F'(x)\,F(x).

Resposta

\bigl(F^2(x)\bigr)' = F(x)\,F'(x) + F'(x)\,F(x).

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