Seja o sistema de equações diferenciais ordinárias
\begin{array}{r} y_{1}^{\prime}(x)=a \cdot y_{1}(x)+b \cdot y_{2}(x), \\\ y_{2}^{\prime}(x)=d \cdot y_{2}(x), \end{array}
com condições iniciais y_{1}(0)=1 e y_{2}(0)=2. Resolva este sistema linear tratando a equação de y_{2} como uma EDO linear homogênea e conhecendo a solução de y_{2}(x) trate a equação de y_{1} como uma EDO linear não homogênea.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} y_{1}^{\prime}(x)=a\,y_{1}(x)+b\,y_{2}(x),\\\ y_{2}^{\prime}(x)=d\,y_{2}(x), \end{cases}
com y_{1}(0)=1 e y_{2}(0)=2. Vamos primeiro resolver a equação de y_{2}, que é linear homogênea de coeficiente constante, e depois usar essa solução como termo não homogêneo na equação de y_{1}.

Passo 2

A equação de y_{2} é
\frac{dy_{2}}{dx}=d\,y_{2}.
Separando variáveis ou lembrando a forma padrão, obtemos
y_{2}(x)=C_{2}\,e^{d x}.
Impondo y_{2}(0)=2 C_{2}=2, logo
y_{2}(x)=2\,e^{d x}.

Passo 3

Substituímos y_{2}(x) em
\frac{dy_{1}}{dx}-a\,y_{1}=b\,y_{2}(x)
e obtemos
\frac{dy_{1}}{dx}-a\,y_{1}=2b\,e^{d x}.
Esta é uma EDO linear não homogênea. O fator integrante é e^{-a x}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y_{1}e^{-a x}\bigr) =e^{-a x}\frac{dy_{1}}{dx}-a\,e^{-a x}y_{1}.

Passo 4

Multiplicando a equação por e^{-a x} temos
\frac{d}{dx}\bigl(y_{1}e^{-a x}\bigr) =2b\,e^{d x}\,e^{-a x} =2b\,e^{(d-a)x}.
Integramos ambos os lados supondo d\neq a:
y_{1}e^{-a x} =\int 2b\,e^{(d-a)x}dx =\frac{2b}{d-a}\,e^{(d-a)x}+C_{1}.
Multiplicando por e^{a x} obtemos a solução geral
y_{1}(x) =\frac{2b}{d-a}\,e^{d x}+C_{1}\,e^{a x}.

Passo 5

Usamos y_{1}(0)=1:
1 =\frac{2b}{d-a}+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=1-\frac{2b}{d-a}.
Portanto, para d\neq a,
y_{1}(x) =\frac{2b}{d-a}\,e^{d x} +\Bigl(1-\frac{2b}{d-a}\Bigr)e^{a x}.
Nota. Se d=a, ao integrar 2b\,e^{(d-a)x}=2b obtemos
y_{1}(x)=(2b\,x+C_{1})\,e^{a x},
e aplicando y_{1}(0)=1 vem C_{1}=1, isto é
y_{1}(x)=e^{a x}\bigl(1+2b\,x\bigr).

Resposta

y_{2}(x)=2\,e^{d x}, \quad y_{1}(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2b}{d-a}\,e^{d x} +\bigl(1-\frac{2b}{d-a}\bigr)e^{a x}, &d\neq a,\\[1em] e^{a x}\bigl(1+2b\,x\bigr), &d=a. \end{cases}]

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