Seja o sistema de equações diferenciais ordinárias
com condições iniciais
e
. Resolva este sistema linear tratando a equação de
como uma EDO linear homogênea e conhecendo a solução de
trate a equação de
como uma EDO linear não homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
com
e
. Vamos primeiro resolver a equação de
, que é linear homogênea de coeficiente constante, e depois usar essa solução como termo não homogêneo na equação de
.
Passo 2
A equação de
é
Separando variáveis ou lembrando a forma padrão, obtemos
Impondo
dá
, logo
Passo 3
Substituímos
em
e obtemos
Esta é uma EDO linear não homogênea. O fator integrante é
, pois
Passo 4
Multiplicando a equação por
temos
Integramos ambos os lados supondo
:
Multiplicando por
obtemos a solução geral
Passo 5
Usamos
:
Portanto, para
,
Nota. Se
, ao integrar
obtemos
e aplicando
vem
, isto é