Sejam
e
funções matriciais
diferenciáveis. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções matriciais diferenciáveis de dimensão
, a derivada da soma é a soma das derivadas. O conteúdo principal é a definição de derivada de função vetorial (ou matricial) e a propriedade de linearidade do limite.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada para uma função matricial
:
Queremos aplicar isso a
.
Passo 3
Escrevendo o quociente de diferença para
, temos
Agrupando termos, isso fica
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Como o limite de uma soma é a soma dos limites (e multiplicação por escalar passa pelo limite), obtemos
Passo 5
Concluímos, a partir da definição de derivada e da linearidade do limite, que