Sejam F e G funções matriciais n \times n diferenciáveis. Mostre que
(F(x)+G(x))^{\prime}=F^{\prime}(x)+G^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções matriciais diferenciáveis de dimensão n\times n, a derivada da soma é a soma das derivadas. O conteúdo principal é a definição de derivada de função vetorial (ou matricial) e a propriedade de linearidade do limite.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada para uma função matricial H\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n\times n}:
H'(x)=\lim_{h\to0}\frac{H(x+h)-H(x)}{h}.
Queremos aplicar isso a H(x)=F(x)+G(x).

Passo 3

Escrevendo o quociente de diferença para H=F+G, temos
\frac{(F+G)(x+h)-(F+G)(x)}{h} =\frac{F(x+h)+G(x+h)-\bigl(F(x)+G(x)\bigr)}{h}.
Agrupando termos, isso fica
\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \;+\;\frac{G(x+h)-G(x)}{h}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0. Como o limite de uma soma é a soma dos limites (e multiplicação por escalar passa pelo limite), obtemos
\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} +\lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h} =F'(x)+G'(x).

Passo 5

Concluímos, a partir da definição de derivada e da linearidade do limite, que
(F+G)'(x)=F'(x)+G'(x).

Resposta

(F(x)+G(x))' = F'(x) + G'(x).

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