Sejam
e
funções matriciais
diferenciáveis. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a regra do produto para derivada de funções matriciais
. Em outras palavras, se
e
são diferenciáveis em
valendo matrizes
, mostrar que
Para isso vamos usar a definição de derivada via limite e manipular o quociente de diferenças.
Passo 2
Lembrando que a derivada de uma função matricial
é dada elemento a elemento por
Aplicamos isso à função produto
:
Passo 3
Para separar as variações de
e de
, somamos e subtraímos o mesmo termo
:
Passo 4
Substituindo na definição do limite,
Aqui usamos a linearidade do limite (desde que existam as derivadas).
Passo 5
Em cada fração podemos fatorar matrizes que não dependem de
. No primeiro termo:
No segundo termo:
Passo 6
Agora passamos ao limite. Como
é contínua (é diferenciável),
quando
. Assim:
Pelo reconhecimento das definições de derivada: