Sejam F e G funções matriciais n \times n diferenciáveis. Mostre que
(F(x) \cdot G(x))^{\prime}=F(x) \cdot G^{\prime}(x)+F^{\prime}(x) \cdot G(x).

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra do produto para derivada de funções matriciais n\times n. Em outras palavras, se F e G são diferenciáveis em \mathbb{R} valendo matrizes n\times n, mostrar que
(F(x)\cdot G(x))' \;=\; F(x)\cdot G'(x)\;+\;F'(x)\cdot G(x).
Para isso vamos usar a definição de derivada via limite e manipular o quociente de diferenças.

Passo 2

Lembrando que a derivada de uma função matricial H(x) é dada elemento a elemento por
H'(x)\;=\;\lim_{h\to0}\frac{H(x+h)-H(x)}{h}.
Aplicamos isso à função produto H(x)=F(x)\,G(x):
(F\,G)'(x) =\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)\,G(x+h)-F(x)\,G(x)}{h}.

Passo 3

Para separar as variações de F e de G, somamos e subtraímos o mesmo termo F(x)\,G(x+h):
F(x+h)\,G(x+h)-F(x)\,G(x) =\bigl[F(x+h)\,G(x+h)-F(x)\,G(x+h)\bigr] +\bigl[F(x)\,G(x+h)-F(x)\,G(x)\bigr].

Passo 4

Substituindo na definição do limite,
(F\,G)'(x) =\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)\,G(x+h)-F(x)\,G(x+h)}{h} \;+\;\lim_{h\to0}\frac{F(x)\,G(x+h)-F(x)\,G(x)}{h}.
Aqui usamos a linearidade do limite (desde que existam as derivadas).

Passo 5

Em cada fração podemos fatorar matrizes que não dependem de h. No primeiro termo:
\frac{F(x+h)\,G(x+h)-F(x)\,G(x+h)}{h} =\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\;G(x+h).
No segundo termo:
\frac{F(x)\,G(x+h)-F(x)\,G(x)}{h} =F(x)\;\frac{G(x+h)-G(x)}{h}.

Passo 6

Agora passamos ao limite. Como G é contínua (é diferenciável), G(x+h)\to G(x) quando h\to0. Assim:
(F\,G)'(x) =\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\;G(x) \;+\;F(x)\;\lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}.
Pelo reconhecimento das definições de derivada:
(F\,G)'(x)=F'(x)\,G(x)+F(x)\,G'(x).

Resposta

(F(x)\,G(x))' \;=\;F'(x)\,G(x)\;+\;F(x)\,G'(x).

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