1. Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável tal que f(x) \rightarrow L quando x \rightarrow \infty. Suponha que exista \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=M. Mostre que M=0.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:(0,\infty)\to\mathbb{R} tal que \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L
e supõe que \displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=M
existe. Queremos provar que M=0. A ideia é usar o Teorema do Valor Médio (TVM) numa diferença de valores de f em pontos distantes.

Passo 2

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=L, para qualquer sequência de pontos que vá ao infinito a diferença entre valores sucessivos tende a zero. Em particular,
\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x+1)-f(x)\bigr) =\lim_{x\to\infty}f(x+1)-\lim_{x\to\infty}f(x) =L-L=0.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, para cada x>0 existe \xi_x\in(x,x+1) tal que
f(x+1)-f(x)=f'(\xi_x).
Como x\to\infty também \xi_x\to\infty, e sabemos que f'(\xi_x)\to M, concluímos
\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x+1)-f(x)\bigr) =\lim_{x\to\infty}f'(\xi_x)=M.
Mas do Passo 2 essa diferença tende a 0. Logo M=0.

Resposta

M=0

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