- Seja
uma função derivável tal que
quando
. Suponha que exista
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
tal que
e supõe que
existe. Queremos provar que . A ideia é usar o Teorema do Valor Médio (TVM) numa diferença de valores de
em pontos distantes.
e supõe que
existe. Queremos provar que
Passo 2
Como
, para qualquer sequência de pontos que vá ao infinito a diferença entre valores sucessivos tende a zero. Em particular,
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, para cada
existe
tal que
Como
também
, e sabemos que
, concluímos
Mas do Passo 2 essa diferença tende a
. Logo
.