1. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável tal que f(t x)=t f(x), \forall t, x \in \mathbb{R}. Prove que existe c \in \mathbb{R} tal que f(x)=c x.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz
f(t x)=t\,f(x)\quad\forall\,t,x\in\mathbb{R},
ou seja, f é homogênea de grau 1. Precisamos provar que existe uma constante c tal que
f(x)=c\,x\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Aplique t=0 em f(t x)=t\,f(x). Isso dá
f(0\cdot x)=0\cdot f(x)\quad\Longrightarrow\quad f(0)=0.
Agora fixe x=1 e deixe t variar. Então
f(t)=f(t\cdot 1)=t\,f(1)\quad\forall\,t\in\mathbb{R}.
Basta renomear t por x para ver que
f(x)=x\,f(1)\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

Resposta

Portanto, tomando
c = f(1),
temos
f(x)=c\,x\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

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