1. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de G. Mostre que N H é um subgrupo de G e N H=H N.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo, H<= G e Ntriang<=<=ft G. Definimos
NH=,n,hmid nin N,;hin H
e queremos mostrar duas coisas:
  1. NH é subgrupo de G.
  2. NH=HN, onde HN=,h,nmid hin H,;nin N.

Passo 2

Mostramos primeiro que NH=HN.
Seja xin NH. Então x=n,h com nin N e hin H. Como Ntriang<=<=ft G, temos
h^-1n,hin N
Logo
x=n,h = hl(h^-1n,hr) in H,N
Isso prova NHsubseteq HN.
O mesmo raciocínio aplicado a um elemento h,nin HN HNsubseteq NH.
Portanto
NH=HN

Passo 3

Agora mostramos que NH é fechado sob produto.
Tomemos
a=n1h1in NH, b=n2h2in NH
Então
a,b = n1,h1,n2,h2 = n1l(h1,n2,h1^-1r),h1,h2
Como Ntriang<=<=ft G implica h1n2h1^-1in N e h1h2in H, concluímos a,bin NH.
Além disso, a identidade e=ecdot e com ein N e ein H está em NH.

Passo 4

Falta fechar sob inversos. Seja x=n,hin NH. Então
x^-1 =(n,h)^-1 = h^-1n^-1 = l(h^-1n^-1hr),h^-1
Pela normalidade, h^-1n^-1hin N e h^-1in H, logo x^-1in NH.

Resposta

NH é subgrupo de G e NH=HN.

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