- Sejam
um grupo,
um subgrupo de
e
um subgrupo normal de
. Mostre que
é um subgrupo de
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo,
e
. Definimos
e queremos mostrar duas coisas:
-
é subgrupo de . -
, onde .
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Seja . Então
com
e
. Como
, temos
Seja
Logo
Isso prova
.
O mesmo raciocínio aplicado a um elemento dá
.
Portanto
O mesmo raciocínio aplicado a um elemento
Portanto
Passo 3
Agora mostramos que
é fechado sob produto.
Tomemos
Tomemos
Então
Como
implica
e
, concluímos
.
Além disso, a identidade com
e
está em
.
Além disso, a identidade
Passo 4
Falta fechar sob inversos. Seja
. Então
Pela normalidade,
e
, logo
.