Use indução sobre n natural para demonstrar os seguintes fatos:
n >= 4 Longrightarrow n!>2^n;

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo ninN com n>= 4, vale
n! > 2^n
O método de indução consiste em dois estágios:
  1. Base da indução: verificar que a fórmula vale para n=4.
  2. Passo indutivo: assumir que vale para n=k>=4 e então mostrar que vale para n=k+1.

Passo 2

Base da indução ( n=4). Calculamos
4! = 24 e 2^4 = 16
Como 24 > 16, a propriedade é verdadeira para n=4.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k>= 4, tenhamos
k! > 2^k
Essa é a hipótese que vamos usar para avançar ao caso k+1.

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1). Partimos de
(k+1)! = (k+1),k!
Pela hipótese de indução k!>2^k, segue
(k+1)! > (k+1),2^k
Como k>=4 implica k+1>=5 e, em particular, k+1>=2, temos
(k+1),2^k >= 2cdot2^k = 2^k+1
Logo,
(k+1)! > 2^k+1,
o que conclui o passo indutivo.

Resposta

Pela base e pelo passo indutivo, por indução ordinária sobre os naturais, concluímos que para todo n>=4 vale
n! > 2^n

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