Use indução sobre
natural para demonstrar os seguintes fatos:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que, para todo
com
, vale
O método de indução consiste em dois estágios:
- Base da indução: verificar que a fórmula vale para
. - Passo indutivo: assumir que vale para
e então mostrar que vale para .
Passo 2
Base da indução (
). Calculamos
Como
, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, tenhamos
Essa é a hipótese que vamos usar para avançar ao caso
.
Passo 4
Passo indutivo (
). Partimos de
Pela hipótese de indução
, segue
Como
implica
e, em particular,
, temos
Logo,
o que conclui o passo indutivo.
Resposta
Pela base e pelo passo indutivo, por indução ordinária sobre os naturais, concluímos que para todo
vale