Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{sen} x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\ \frac{x}{1+e^{x}}, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right. Passo 1O enunciado define g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\sin x,&x\in\mathbb{Q},\\[6pt] \dfrac{x}{1+e^x},&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases} e pede para verificar se g é derivável em x_0=0. Para isso, vamos primeiro checar continuidade em 0 (é condição necessária) e depois verificar se \lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x} existe (e é o mesmo quer venhamos a 0 por racionais ou irracionais).] Passo 2Calcular g(0) e limites laterais para ver continuidade. Como 0\in\mathbb{Q}, g(0)=\frac12\sin0=0. Para x\to0 racional, \lim_{x\to0,\,x\in\mathbb{Q}}g(x) =\lim_{x\to0}\frac12\sin x =0. Para x\to0 irracional, \lim_{x\to0,\,x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}g(x) =\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^x} =0. Como ambos os limites valem 0 e g(0)=0, concluímos que g é contínua em 0. Passo 3Agora analisamos o quociente de diferença \frac{g(x)-g(0)}{x} =\frac{g(x)}{x} para x\to0. Se x é racional, \frac{g(x)}{x} =\frac{\frac12\sin x}{x} =\frac12\cdot\frac{\sin x}{x} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac12. Se x é irracional, \frac{g(x)}{x} =\frac{\frac{x}{1+e^x}}{x} =\frac{1}{1+e^x} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac{1}{1+1}=\frac12. Passo 4Como tanto vindo por racionais quanto por irracionais o quociente de diferença tende a \tfrac12, o limite \lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x} existe e vale \tfrac12. Logo g é derivável em 0 e g'(0)=\frac12. RespostaA função g é derivável em x_{0}=0 e g'(0)=\tfrac12. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosVerifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+2 x^{2}, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0\). \(g(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{-1 / x}}, \text { se } x \neq 0 & \\\\ 0, \text { se } x=0 & \left(x_{o}=0\right)\end{cases} Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função. Mostre que: se |f(x)| \leq x \ln (x+1) para todo x \in(0, \infty) então f é derivável à direita de x=0 e que f_{+}^{\prime}(0)=0. Seja I \subseteq \mathbb{R} um intervalo e f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável em I. Se \alpha \in I e f^{\prime}(\alpha)>0 mostre que existe um \delta>0 tal que f(x)>f(\alpha) para todo x \in I \operatorname{com} \alpha<x<\alpha+\delta.