Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0.
g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{sen} x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\ \frac{x}{1+e^{x}}, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\sin x,&x\in\mathbb{Q},\\[6pt] \dfrac{x}{1+e^x},&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para verificar se g é derivável em x_0=0. Para isso, vamos primeiro checar continuidade em 0 (é condição necessária) e depois verificar se
\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}
existe (e é o mesmo quer venhamos a 0 por racionais ou irracionais).]

Passo 2

Calcular g(0) e limites laterais para ver continuidade. Como 0\in\mathbb{Q},
g(0)=\frac12\sin0=0.
Para x\to0 racional,
\lim_{x\to0,\,x\in\mathbb{Q}}g(x) =\lim_{x\to0}\frac12\sin x =0.
Para x\to0 irracional,
\lim_{x\to0,\,x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}g(x) =\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^x} =0.
Como ambos os limites valem 0 e g(0)=0, concluímos que g é contínua em 0.

Passo 3

Agora analisamos o quociente de diferença
\frac{g(x)-g(0)}{x} =\frac{g(x)}{x}
para x\to0.
  • Se x é racional,
\frac{g(x)}{x} =\frac{\frac12\sin x}{x} =\frac12\cdot\frac{\sin x}{x} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac12.
  • Se x é irracional,
\frac{g(x)}{x} =\frac{\frac{x}{1+e^x}}{x} =\frac{1}{1+e^x} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac{1}{1+1}=\frac12.

Passo 4

Como tanto vindo por racionais quanto por irracionais o quociente de diferença tende a \tfrac12, o limite
\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}
existe e vale \tfrac12. Logo g é derivável em 0 e
g'(0)=\frac12.

Resposta

A função g é derivável em x_{0}=0 e g'(0)=\tfrac12.

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