Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0.
g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+2 x^{2}, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= \begin{cases} x^{3}+2x^{2},&\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ 0,&\text{se }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para verificar se g é derivável em x_{0}=0. Para isso, vamos primeiro checar continuidade em 0 e depois usar a definição de derivada
g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}.

Passo 2

Calculamos g(0). Como 0\in\mathbb{Q}, temos
g(0)=0^{3}+2\cdot0^{2}=0.
Agora avaliamos \lim_{x\to0}g(x). Para x\in\mathbb{Q},
g(x)=x^{3}+2x^{2}\longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to0,
e para x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
g(x)=0\longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to0.
Portanto
\lim_{x\to0}g(x)=0=g(0),
mostrando que g é contínua em 0.

Passo 3

Usamos a definição de derivada em 0:
\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{g(x)}{x}.
Se x\in\mathbb{Q},
\frac{g(x)}{x}=\frac{x^{3}+2x^{2}}{x}=x^{2}+2x\longrightarrow 0 \quad(x\to0).
Se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
\frac{g(x)}{x}=\frac{0}{x}=0.
Em ambos os casos o quociente tende a 0. Logo
\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=0,
logo g'(0) existe.

Resposta

A função g é derivável em x_{0}=0 e
g'(0)=0.

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