Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+2 x^{2}, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Passo 1O enunciado define a função g(x)= \begin{cases} x^{3}+2x^{2},&\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ 0,&\text{se }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases} e pede para verificar se g é derivável em x_{0}=0. Para isso, vamos primeiro checar continuidade em 0 e depois usar a definição de derivada g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}. Passo 2Calculamos g(0). Como 0\in\mathbb{Q}, temos g(0)=0^{3}+2\cdot0^{2}=0. Agora avaliamos \lim_{x\to0}g(x). Para x\in\mathbb{Q}, g(x)=x^{3}+2x^{2}\longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to0, e para x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, g(x)=0\longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to0. Portanto \lim_{x\to0}g(x)=0=g(0), mostrando que g é contínua em 0. Passo 3Usamos a definição de derivada em 0: \frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{g(x)}{x}. Se x\in\mathbb{Q}, \frac{g(x)}{x}=\frac{x^{3}+2x^{2}}{x}=x^{2}+2x\longrightarrow 0 \quad(x\to0). Se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \frac{g(x)}{x}=\frac{0}{x}=0. Em ambos os casos o quociente tende a 0. Logo \lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=0, logo g'(0) existe. RespostaA função g é derivável em x_{0}=0 e g'(0)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosVerifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0\). \(g(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{-1 / x}}, \text { se } x \neq 0 & \\\\ 0, \text { se } x=0 & \left(x_{o}=0\right)\end{cases} Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}+x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right. Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x_{0}=0. g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{sen} x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\ \frac{x}{1+e^{x}}, \text { se } \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right. Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função. Mostre que: se |f(x)| \leq x \ln (x+1) para todo x \in(0, \infty) então f é derivável à direita de x=0 e que f_{+}^{\prime}(0)=0.