Seja
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
a qual é paralela à reta de equação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
que seja paralela à reta
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A reta dada
tem coeficiente angular (inclinação) igual a .
O que precisamos encontrar: a reta tangente acujo coeficiente angular seja (porque retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular).
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta tangente a uma curva
no ponto de abscissa
tem a equação
onde
é a derivada de
em
— isto é, a inclinação da curva naquele ponto. Aqui cada variável significa:
-
é a variável independente na equação da reta; -
é o ponto onde a reta toca o gráfico (abscissa do ponto de tangência); -
é a ordenada do ponto de tangência; -
é a inclinação da reta tangente.
Logo, para obter a reta que queremos devemos:
- Calcular
(a derivada geral); - Encontrar
tal que (porque queremos inclinação ); - Calcular
; - Substituir
, e na fórmula da reta tangente.
Passo 3
Regra de derivação que vamos usar: a derivada da função exponencial de base
é
onde
é o logaritmo natural de
. Aplicando isso a
, obtemos a derivada:
Passo 4
Agora impondo que a inclinação da tangente seja
, resolvemos
Isolando
:
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados para achar
:
Denotando esse valor por
(a abscissa do ponto de tangência), temos
Passo 5
Calcular a ordenada do ponto de tangência
. Usamos a igualdade obtida em Passo 4:
. Portanto
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2. Como
(imposto) e
, a reta tangente é
Desenvolvendo e substituindo
por sua expressão:
Podemos escrever a constante termo independente de forma compacta como
Portanto, formas equivalentes da reta tangente são, por exemplo,
ou