Seja
f(x)=7^{x}
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f a qual é paralela à reta de equação
y=2 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=7^{x}
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f que seja paralela à reta
y=2x+1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=7^{x}.
  • A reta dada y=2x+1 tem coeficiente angular (inclinação) igual a 2.
    O que precisamos encontrar: a reta tangente a f cujo coeficiente angular seja 2 (porque retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular).

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta tangente a uma curva y=f(x) no ponto de abscissa c tem a equação
y = f'\text{(c)}\,(x-c) + f\text{(c)},
onde f'\text{(c)} é a derivada de f em c — isto é, a inclinação da curva naquele ponto. Aqui cada variável significa:
  • x é a variável independente na equação da reta;
  • c é o ponto onde a reta toca o gráfico (abscissa do ponto de tangência);
  • f\text{(c)} é a ordenada do ponto de tangência;
  • f'\text{(c)} é a inclinação da reta tangente.
Logo, para obter a reta que queremos devemos:
  1. Calcular f'(x) (a derivada geral);
  2. Encontrar c tal que f'\text{(c)}=2 (porque queremos inclinação 2);
  3. Calcular f\text{(c)};
  4. Substituir c, f\text{(c)} e f'\text{(c)}=2 na fórmula da reta tangente.

Passo 3

Regra de derivação que vamos usar: a derivada da função exponencial de base a>0 é
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}\bigr)=\ln(a)\,a^{x},
onde \ln(a) é o logaritmo natural de a. Aplicando isso a f(x)=7^{x}, obtemos a derivada:
f'(x)=\ln(7)\,7^{x}.

Passo 4

Agora impondo que a inclinação da tangente seja 2, resolvemos
f'(x)=\ln(7)\,7^{x}=2.
Isolando 7^{x}:
7^{x}=\frac{2}{\ln 7}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados para achar x:
x=\frac{\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7}.
Denotando esse valor por a (a abscissa do ponto de tangência), temos
a=\frac{\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7}.

Passo 5

Calcular a ordenada do ponto de tangência f(a). Usamos a igualdade obtida em Passo 4: 7^{a}=\dfrac{2}{\ln 7}. Portanto
f(a)=7^{a}=\frac{2}{\ln 7}.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2. Como f'(a)=2 (imposto) e f(a)=\dfrac{2}{\ln 7}, a reta tangente é
y=2\,(x-a)+\frac{2}{\ln 7}.
Desenvolvendo e substituindo a por sua expressão:
y=2x-2a+\frac{2}{\ln 7} =2x-2\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7}+\frac{2}{\ln 7}.
Podemos escrever a constante termo independente de forma compacta como
\frac{2}{\ln 7}-\frac{2\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7} =\frac{2\bigl(1-\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)\bigr)}{\ln 7}.
Portanto, formas equivalentes da reta tangente são, por exemplo,
y=2x-2\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7}+\frac{2}{\ln 7}
ou
y=2x+\frac{2\bigl(1-\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)\bigr)}{\ln 7}.

Resposta

y=2x-2\cdot\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{2}{\ln 7}\right)}{\ln 7}+\dfrac{2}{\ln 7}

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